Fill de Mateo Albéniz, a deu anys ja tocava l’orgue a la parròquia de San Vicente, a Sant Sebastià. El 1826 es traslladà a París, on estudià amb H. Herz i F. Kalkbrenner. A la capital francesa entrà en contacte amb G. Rossini, que el protegí quan començà a compondre obres destinades a recitals públics. El 1829 retornà definitivament a Espanya, on el 1834 fou nomenat organista de la capella reial i el 1837 pianista del rei. Fou el primer professor de piano del Conservatori de Madrid arran de la seva obertura l’any 1830, des d’on introduí la tècnica del piano romàntic al país. Fou una de les figures que més contribuïren a formar l’escola moderna espanyola de piano, i el seu Método completo para piano, obra inspirada en la tècnica de Herz, fou un dels llibres més emprats als conservatoris peninsulars des del 1840.
Compongué, entre d’altres, un fragment de la sarsuela Los enredos de un curioso, juntament amb R. Carnicer i G. Piermarini. Entre les seves composicions per a piano destaquen els estudis opus 56 i 60. En total, cal parlar d’unes 115 obres, les primeres aportacions valuoses al Romanticisme pianístic hispànic.