El 1936 fou voluntari a l’exèrcit franquista. Durant la Guerra Civil Espanyola rebé dues ferides de bala i fou condecorat per mèrits en combat.
Conegut com Paco Godia, competí en diverses especialitats. Debutà en competicions l’any 1946 al Circuit de Montjuïc. En plena postguerra optà per anar a córrer a l’estranger, primer a Itàlia i després arreu d’Europa, competint en tot tipus de modalitats. També participà en curses a l’Argentina, on fou company d’equip del pluricampió mundial Juan Manuel Fangio. L’any 1949 aconseguí la quarta posició a les 24 Hores de Le Mans, al volant d’un Delage, fent equip amb Louis Gérard. El 1951 debutà en la Fórmula 1 disputant el Gran Premi d’Espanya al Circuit de Pedralbes, amb un Maserati privat de l’Scuderia Milano, prova en què acabà desè. També participà en el Gran Premi del 1954, amb un Maserati semioficial, en què acabà sisè. El 1956 ja disputà la temporada completa, com a pilot semioficial de Maserati, i aconseguí la quarta posició en els Grans Premis d’Alemanya i Itàlia, i la novena posició final en el Campionat del Món, el seu millor resultat. El 1957 i el 1958 continuà corrent amb Maserati al Mundial, però passà a centrar-se més en proves de cotxes sport, i aconseguí la victòria a la Copa del Saló de l’Automòbil de París. Reduí les seves participacions internacionals per dedicar-se a córrer les proves que es feien a Montjuïc. El 1968 guanyà les 6 Hores de Montjuïc amb Brian Muir, i les 12 Hores l’any següent, amb Joan Fernández, cursa que posà fi a la seva carrera esportiva. Anteriorment, el 1964 havia establert el rècord absolut del trajecte Barcelona-Madrid, en la que fou la darrera temptativa d’aquest rècord. Algun dels cotxes que pilotà es conserven a la seu de la seva fundació, a Barcelona.
Dugué a terme diverses operacions empresarials i financeres: el 1965 constituí la societat Diana Española de Piensos, amb seu a Parets del Vallès. Presidí la societat concessionària del túnel de Guadarrama Iberpistas, i de 1977 a 1988 la química Cros, la fusió de la qualamb Explosivos Río Tinto dirigí el 1987. Invertí també en el sector turístic. Com a col·leccionista, adquirí l’edifici del Conventet (segle XIV), vora el monestir de Pedralbes, on reuní una important col·lecció d’art, en part descrita i catalogada per Lluís Monreal i Agustí (1971-72) i parcialment adquirida per la Generalitat el 1994.
El 1998 la seva filla Liliana Gòdia creà la Fundació Francesc Gòdia.