Va aprendre l’ofici d’ebenisteria al taller familiar de Huesa del Común i després es traslladà a Barcelona, on començà a treballar amb el seu germà gran, el lutier Francisco Manuel Fleta, amb qui restà catorze anys i del qual va aprendre l’art de construir instruments. La seva inquietud per perfeccionar-se el dugué a París, al taller de Philippe Le Duc, i, quan tornà a Barcelona (1927), s’establí al carrer dels Àngels, on construí violins, violes i violoncels, a més d’un conjunt d’instruments barrocs, com ara fídels i violes de gamba, que durant els anys quaranta li encarregà el conjunt Ars Musicae. L’any 1955 s’inicià en la construcció de guitarres, tasca que li proporcionà reputació internacional. Tot i que els violins Fleta han tingut una bona acollida per part dels professionals, són, però, les guitarres les que li han donat fama.