Què fem els matemàtics?

En altres disciplines com la biologia, economia, etc., crec que és fàcil d’imaginar com és la recerca en aquell camp: l’investigador/a recull dades (fent experiments en molts casos), després analitza aquestes dades, i finalment en treu conclusions. Ara bé, el que pot ser més difícil d’imaginar és: què fem els investigadors en matemàtiques? Això és el que intentaré explicar breument en aquesta primera entrada del blog.

La resposta curta és: Els matemàtics demostrem teoremes. Per als lectors menys familiaritzats amb el tema, això pot portar vàries preguntes:

Què vol dir això exactament?

Doncs que, basant-se només en raonaments lògics i deductius, es demostra que una determinada afirmació és certa (i un cop demostrada passa a dir-se "teorema"). Un dels exemples més senzills seria el Teorema de Pitàgores; podeu veure al final d’aquest article la seva demostració.

Encara hi ha teoremes per demostrar?

I tant! Tot i que les matemàtiques van començar a l’època de l’Antiga Grècia, la realitat és que la major part de la matemàtica actual es va desenvolupar durant els segles XIX i XX, i encara ara queden moltes qüestions (i molt importants) per resoldre i entendre. De fet, aquest serà l’objectiu d’aquest blog: explicar la investigació matemàtica actual.

Com a petit avançament, podeu mirar la llista dels “Set Problemes del Mil·lenni” (pels quals et donen 1.000.000 $ si en pots resoldre algun!). També podeu mirar la llista dels últims guanyadors del Premi Abel (l’equivalent del Nobel en matemàtiques).

Per a què serveix la investigació en matemàtica teòrica?

En poques paraules: La tecnologia que coneixem actualment no seria possible sense la matemàtica teòrica desenvolupada durant el segle XX.

L’objectiu d’aquest blog serà explicar la recerca i l’actualitat en matemàtiques. En particular contestarem en detall i amb diversos exemples les tres preguntes anteriors.

Finalment, com he promès abans, a continuació teniu la demostració del Teorema de Pitàgores. (Evidentment, les demostracions dels teoremes que investiguem actualment són molt més complicades que això, i poden arribar a tenir centenars de pàgines! La demostració següent és una de les més senzilles que hi ha al món matemàtic.)

Teorema de Pitàgores:

Si els costats d’un triangle rectangle tenen longitud a, b, c (com a la figura), aleshores es compleix que  a²+b²=c²

Demostració:

Considerem 4 còpies del nostre triangle rectangle, posades dins un quadrat com a les figures següents. A la figura de l'esquerra, veiem que el quadrat blanc té àrea exactament c², on c és la longitud del costat llarg del nostre triangle. Per altra banda, a la figura de la dreta hem simplement reordenat els 4 triangles, i ara la regió blanca són dos quadrats, l'un amb àrea a² i l'altre amb àrea b². Com que l'àrea de la regió blanca ha de ser la mateixa a la figura de la dreta i la de l'esquerra, trobem que a²+b²=c², per tant hem demostrat el teorema!