Fill d’un pastor luterà pobre, el 1817 un dels seus mestres en reconegué el talent, l’introduí en els clàssics de les matemàtiques i aconseguí el seu ingrés a la Universitat de Cristiania (actualment Oslo) l’any 1821, on obtingué un títol, i finançà la seva formació posterior. El 1823 fou el primer en formular i resoldre una equació integral. El 1824, amb l’enginyer alemany August Leopold Crelle, fundà el Journal für die reine und angewandte Mathematik (‘Revista de matemàtica pura i aplicada’), on publicà molts treballs. El 1926 anà a París, aleshores centre mundial de les matemàtiques, on completà la seva contribució principal sobre la teoria de les integrals de les funcions algèbriques. Intentà obtenir, sense èxit, una posició acadèmica; la memòria que presentà a l’Acadèmia de Ciències francesa es perdé. De retorn a Noruega, subsistí com a professor particular i amb un interinatge a la universitat. Al mateix temps, continuà els treballs de recerca. Tot i que finalment començà a ser reconegut, morí de tuberculosi abans d’aconseguir una plaça acadèmica d’acord amb la seva categoria.
Abel demostrà que, contràriament a allò establert per a les equacions algèbriques de segon, tercer i quart grau, les arrels de l’equació general de grau més gran o igual a 5 no són expressables per funcions radicals dels seus coeficients (teorema d’Abel). Determinà quines equacions tenen arrels que s’expressen cadascuna com a funció racional de la resta (equacions abelianes). Estudià les integrals el·líptiques, d’interès en mecànica teòrica, i llurs solucions (funció el·líptica), així com les anomenades integrals abelianes. Contra la manca de rigor de la matemàtica de l’època, ideà criteris de convergència fiables per a les sèries de potències.
L’any 2001 l’Estat noruec instituí el premi Abel, concedit anualment des del 2003. Juntament amb la medalla Fields, és considerat el principal guardó internacional en el camp de les matemàtiques.