Estudià a les escoles de la Junta de Comerç de Barcelona. El 1801, juntament amb el geògraf Rojas Clemente, presentà a Carles IV un projecte de viatge d’exploració pel nord d’Àfrica i l’Orient Mitjà. Els objectius eren en teoria científics, però de fet el viatge obeïa a projectes d’expansió política i, sobretot, econòmica, per aquests països, en un moment que la pau amb Turquia i el nord d’Àfrica havia obert la Mediterrània al comerç català, altrament en conjuntura expansiva. Badia emprengué el viatge el 1803, disfressat i sota nom aràbic.
Home intel·ligent i observador, i també bon dibuixant, reeixí en la seva missió i, a més a més, recollí abundant material sobre la geografia, l’art, la fauna, els costums i els més diversos aspectes de les terres que visità. Com a fet remarcable cal dir que aconseguí d’entrar a la Meca. En tornar al país (1808), es trobà amb el fet consumat de l’ocupació napoleònica. Oferí aleshores els seus serveis a Josep I, que li concedí diversos càrrecs administratius. El 1814 marxà a París amb les tropes franceses. Fou aleshores que Napoleó li encarregà un nou viatge, també “científic”, a l’Índia, però no pogué arribar-hi, sinó que desaparegué a Damasc, probablement assassinat per instigació d’agents britànics. Badia és un dels primers exemples d’aquest tipus d’agent colonialista (Brazza, Stanley, el també català Sinibald de Mas, etc.), que proliferà durant el segle XIX.
És, alhora, pel seu esperit observador i la seva curiositat enciclopèdica, un dels darrers representants de la figura del viatger il·lustrat setcentista. Deixà una relació de la seva expedició titulada Voyages d’Ali Bey en Afrique et en Asie pendant les années 1803, 1804, 1805, 1806 et 1807 (París, 1814), una obra extensíssima on es barregen les experiències personals amb la descripció metòdica de tot el que veié. És una obra hereva de la Il·lustració per la metodologia i les idees, però també hi despunten elements romàntics, com ara el to autobiogràfic. L’obra fou traduïda a l’anglès (1816), a l’alemany (1816), a l’italià (1817), al castellà (1836) i dues vegades al català (1888 i 1934).