Fill de l’advocat i doctor en lleis Pere Joan Finestres i Solans. Germà de Francesc Finestres i de Monsalvo (1689 — 1762) i Pere Joan Finestres i de Monsalvo (1690 — 1769), professors de dret canònic a Cervera i erudits canonges de Girona i de Lleida, de Marià Finestres i de Monsalvo (1694 — 1759) i de l’historiador Jaume Finestres i de Monsalvo (1696 — 1769), monjos de Poblet, d’Ignasi Finestres i de Monsalvo, jerònim, arxiver i bibliotecari del monestir de la Vall d’Hebron i de l’historiador Daniel Finestres i de Monsalvo (1702 — 1744). Els dos monjos de Poblet havien estat companys de Gregori Maians i Siscar al col·legi de jesuïtes de Barcelona —Col·legi de Cordelles—, on tots els germans estudiaren; i el 1727 s’inicià una amistat epistolar entre Maians i Josep, que esdevingué alhora una bella amistat entre el Principat i València. Josep començà els estudis de dret el 1706, a Barcelona, on es graduà de batxiller.
A la Universitat de Cervera es doctorà en dret civil (1715) i es llicencià en cànons. Hi restà vinculat tota la vida, i en fou l’ànima. Regent de la càtedra de dret civil (1715-18), professor extraordinari d’Institucions (1718-22), regent de la primera càtedra de dret (1722-30) i de la de vespres (1730-31), catedràtic de prima fins a la jubilació (1751), fou també canceller interí el 1743. Només clergue tonsurat, sense ordes sagrats, dedicà tota la vida a l’ensenyament del dret i a l’estudi de la cultura clàssica.
Fidel a la seva llengua, el seu epistolari amb Ignasi de Dou i de Solà (a qui escrivia: "apage castellanum, quo non nisi invitus loquor") és una bella mostra del català culte parlat al segle XVIII. Escrivia amb correcció el castellà, però llegí el Quixot quan tenia ja 58 anys. Posseïa una formació clàssica impecable, la seva llengua de cultura fou només el llatí, que dominà com un humanista del cinc-cents, igualment que el grec.
Formà una bona biblioteca de llibres de dret i de filologia clàssica. Seguia la literatura il·lustrada francesa i europea a través del Journal des Sçavans i de les Mémoires de Trévoux, i, pels Acta Eruditorum, de Leipzig, les publicacions jurídiques i erudites d’Alemanya i d’Holanda, tema freqüent de la seva correspondència amb Maians. Essent Cervera una ciutat comarcal, no podia tenir una cultura tan oberta com València als nous corrents socials i polítics; però del cenacle de Josep sortí Antoni Codorniu. Finestres fou considerat per Maians com el príncep del dret romà.
Com a escriptor, començà anotant i editant, per a ús de la càtedra, texts jurídics fonamentals —les Institutiones de Justinià (Cervera, 1737), la Iurisprudentia vetus anteiustinianea (Cervera, 1754), amb unes notes inèdites de Pierre Du Faure, reeditades per Meerman al Novus thesaurus de la Haia— i comentaris de juristes moderns —B. Chigi (Cervera, 1737), J. Altamirano (Cervera, 1739), aquest, reeditat també per Meerman—. Fruit de les seves lliçons foren un seguit de dissertacions, que reincorporà, completades, en les Exercitationes academicae (Cervera, 1745) i Praelectiones cervarienses (Cervera, 1750-52).
Per la seva utilitat didàctica, prengué sovint, com a base de les seves explicacions de càtedra, l’Epitome d’Hermogenià, al qual dedicà la seva obra cabdal, In Hermogeniani Iuris Epitomarum libros sex commentarius (Cervera, 1757), que Maians no aconseguí que Meerman inserís al Novus thesaururs, el qual tampoc no inclogué cap escrit maiansià, contrari com era el jurista holandès a encabir-hi autors vivents.
Publicà gran nombre d’obres jurídiques relacionades amb la seva activitat docent. El 1747 inicià uns Iuris catalauni elementa i també un De historia iuris catalaunici, que Maians volia publicar a València amb una seva Historia iuris valentini; però ho deixà córrer, tement de "tropezar en algo que pudiese ofender la delicadeza del sistema presente".
Els seus discursos acadèmics són un exemple de casuística jurídica universitària. Les oracions solemnes en rebre els seus deixebles les borles de doctor constitueixen, ensems amb les epístoles a Maians, un bell espill del seu esperit, de la seva impecable llatinitat i de la seva immensa erudició clàssica. Ocasionalment, també compongué versos en llatí, català i castellà.
A setanta-quatre anys publicà —revisada i completada amicalment per Maians— la Sylloge inscriptionum romanarum de Catalunya (Cervera, 1762), impugnada en alguns punts per E. Flórez i reivindicada, no pas sempre amb èxit, pel seu deixeble i successor a Cervera, Ramon Llàtzer de Dou i de Bassols.