Pertanyia a una família de músics, entre els quals hi havia Josep Nonó i Joan Nonó i Bach, el seu pare. S'inicià en el món de la música i el cant a través del seu germà Joan, organista de l’església parroquial de Sant Joan. Als vuit anys es traslladà a Barcelona, on guanyà, per concurs, una plaça de solista al cor de la catedral de Barcelona. Obtingué del capítol una beca per a estudiar a Roma, on rebé classes de composició del mestre Severio Mercadante. De retorn a Catalunya, treballà al davant d’una acadèmia, primer a Terrassa i després a Sabadell. El 1845 ingressà a l’exèrcit, on molt aviat dirigí la banda de música militar del regiment de la reina. El 1851 se n'anà amb el mateix càrrec a Cuba, on es feu càrrec de l’organització de les bandes militars i, a més, fou l’introductor dels instruments de metall. En aquest país conegué el general mexicà Antonio López de Santa Ana, que el 1852 el cridà i el contractà per a reorganitzar les bandes de música de Mèxic, on arribà el mateix any. Guanyà les oposicions públiques per al càrrec de director del Conservatori Nacional de Música i Declamació. El 1854 es presentà, amb quinze aspirants més, en el concurs per premiar la millor composició per a l’himne nacional mexicà, amb lletra ja escrita per Francisco González Bocanegra. Guanyà el concurs i l’himne s’estrenà el 15 de setembre d’aquell any al Teatro Santa Ana, que després seria, Teatro Nacional. Dos anys més tard retornà a l’Havana i després es traslladà als Estats Units i residí a Nova York, on treballà com a pianista i director d’orquestra, obrí una acadèmia i recorregué diferents ciutats nord-americanes. El 1864 tornà a Mèxic per dirigir una temporada d’òpera. Instal·lat a Rochester, fou director d’òpera (1873-76) i concertista. Finalment, s’establí definitivament a Buffalo (1876-08), on obrí una acadèmia de música al Women's Union Building i es casà. Malgrat tot restà lligat a Mèxic, on tornà diverses vegades: el 1864 per dirigir una temporada d’òpera, i el 1901 per participar en les festes patriòtiques de Mèxic. Allà fou rebut apoteòsicament i se li feu un homenatge al Teatre Arbeu. El 1904 feu un nou viatge a Mèxic per celebrar el cinquantenari de l’himne. El 1942, el govern mexicà li tributà un gran homenatge amb motiu de l’arribada de les seves despulles, que foren dipositades a la Rotonda de los Hombres Ilustres de la Ciudad de México. L’Orféo Català de Mèxic li ha dedicat una placa a nom de tots els catalans, col·locada a la façana de la casa on va nèixer Jaume Nunó. El 1969 hom li dedicà, també, per iniciativa de Salvador Moreno, a Sant Joan de les Abadesses una font, amb l’aportació d’un grup de mexicans i espanyols; la plaça on s’erigí és anomenada popularment plaça dels mexicans. Fou enterrat a Mèxic com a home il·lustre del país.