i àlgebra | enciclopèdia.cat

OBRES

OBRES

Divulgació científica
Estadístiques
Gran enciclopèdia catalana

àlgebra

substantiu femeníf
Matemàtica
Triàngle numèric, més tard conegut com a triangle de Pascal, d’un manuscrit xinès del 1303
© fototeca.cat
matemàtiques mat
Branca de les matemàtiques que estudia les estructures algèbriques dels conjunts.

Hom l’aplica, per tant, en les situacions on hi ha un conjunt ben definit i una noció clara d’operació entre els seus elements (operació interna) o entre aquests i els elements d’altres conjunts (operació externa). L’àlgebra ha evolucionat des de l’interès inicial per a resoldre problemes fonamentalment pràctics fins al desenvolupament del mètode abstracte. Dues inclinacions diferents han desembocat en l’àlgebra moderna.

D’una banda, l’àlgebra clàssica, simple instrument per a fer càlculs i resoldre equacions que usava només els conceptes immediats que hom reconeixia al problema: les quantitats (nombres) i les formes (geometria). De l’altra, l’ús de notacions simbòliques (lletres per a designar incògnites) i de conceptes operatius (el zero, els nombres negatius, els nombres imaginaris), així com el foment del maneig de demostracions formals i de la diversificació dels problemes a estudiar, mostren l’actitud que conduí al canvi que l’àlgebra experimentà durant el segle XIX.

Alguns elements importants d’aquest canvi són: la definició i estudi d’operacions entre objectes no numèrics (p ex. Gauss definí una composició entre classes de formes quadràtiques); l’ús creixent de conceptes desproveïts d’una interpretació immediata però la utilitat dels quals justifica de deixar-la posposada (imitant així l’èxit aconseguit pels nombres imaginaris); la intenció d’eludir les convencions matemàtiques gratuïtes (fent possible de treballar, per exemple, amb estructures no commutatives, com els quaternions de Hamilton). Foren les nocions abstractes de grup i llei de composició les que assenyalaren l’inici de l’axiomatització dels seus mètodes. Des d’aleshores, hom entén l’àlgebra com un procediment abstractiu, capaç d’estudiar objectes matemàtics molt diferents i d’esbrinar-ne l’estructura comuna subjacent, de definir un model a estudiar profundament i del qual concloure resultats vàlids per a totes les seves realitzacions concretes.

L’eficàcia d’aquesta àlgebra abstracta ha permès que aporti els seus mètodes a d’altres disciplines matemàtiques, com l’anàlisi, la topologia i la geometria, i, fins i tot, hom els ha aplicats en camps no específicament matemàtics, com la lògica o la física teòrica. El concepte fonamental de l’àlgebra és el d’estructura algèbrica. Les propietats de les operacions definides en un conjunt en determinen l’estructura. Així, donat un conjunt C on hi ha definida una operació entre els seus elements (a, b, c, ...), operació que indicarem amb el símbol + però que no ha de representar necessàriament la coneguda addició numèrica, és possible que es verifiquin les següents propietats: 1) commutativa: a+b=b+a; 2) associativa: (a+b)+c = a+(b+c); 3) element neutre: existeix un element, que hom nota per 0, que satisfà a+0=0+a, per a qualsevol element del conjunt; 4) element simètric: per a cada element a n'hi ha un altre a’ que verifica a+a'=a'+a=0. Direm que l’objecte (C,+) és un semigrup si només es verifica la propietat 2. És un grup si verifica les propietats 2, 3 i 4. Si, a més, satisfà la 1 hom l’anomena grup abelià (o commutatiu). Si a C hi ha definida una segona operació, que hom nota simbòlicament per ×, podrien verificar-se també algunes de les següents propietats: 5) commutativa: a×b=b×a; 6) associativa: a×(b×c)=(a×bc; 7) element neutre: que hom nota per 1, que satisfà a×1=1×a=a; 8) element simètric: per a cada a existeix un a-1 tal que a-1×a=a×a-1=1. Lligant les dues operacions hi pot haver la propietat distributiva: 9) (b+c)=a×b+a×c. Diem que l’objecte (C,+,×) és un anell si (C,+) és un grup abelià i se satisfan les propietats 6 i 9. És un anell abelià (o commutatiu) si a més es verifica la 5. És un cos si és un anell i (C-[0],×) és un grup. És un cos commutatiu si a més es satisfà la 5, és a dir si es verifiquen les 9 propietats.

Altres estructures són l’ideal, el mòdul, l’espai vectorial i l’àlgebra associativa. Tant com el d’estructura són rellevants els conceptes d'estructura derivada (subestructures, estructures producte i quocient), d’homomorfisme i, especialment, el d’isomorfisme, clau per a transmetre els resultats del model a cada realització concreta.

Història de l’àlgebra

Bé que el terme àlgebra és d’origen medieval (de l’àrab al-ǧäbr, probablement difós pel títol de l’obra d’al-Hwārizmī), tant en el sentit de càlcul com en el de l’art de resoldre equacions, les tècniques algèbriques són molt antigues. A Babilònia (~2000 aC) i a Egipte (~1850-1650 aC) foren plantejades i resoltes algunes equacions fins al tercer grau amb mètodes molt desenvolupats i precisos, però que poden ésser qualificats gairebé d’empírics, consistents en regles d’enunciat purament verbal sense cap mena de justificació. A Grècia, Euclides ja mostrà interès per fornir demostracions formals de resultats que hom considerava evidents, però l’orientació predominantment geomètrica de la matemàtica grega frenà el progrés de l’àlgebra. Com a excepció, hi ha l’obra de Diofant d’Alexandria (~250 dC) sobre les equacions, on és clara la influència babilònica. És ell qui usa per primer cop una lletra per a representar la incògnita d’una equació. L’àlgebra hindú, tècnica operatòria sense cap tipus de raonament deductiu, assolí també alguns resultats importants i gairebé establí el simbolisme operatori (introducció del zero i dels nombres negatius). L’àlgebra musulmana sembla sortir de les investigacions dels últims grecs (Diofant) i de la tècnica dels hindús. Però malgrat els avenços d’aquests darrers en el simbolisme operatori la tradició àrab representà un retrocés, ja que els raonaments eren escrits amb totes les paraules: els texts resultaven llargs, poc comprensibles i de difícil generalització.

Cal esmentar l’obra d’al-Hwārizmī, de gran influència en la primitiva àlgebra europea. El primer progrés fou el costum d’introduir en les traduccions llatines paraules determinades per a designar les constants (dragma o numerus), la incògnita (radix, causa o res) i el seu quadrat (census), i fou l’única contribució notable a l’àlgebra feta per l’Europa medieval. Als segles XV i XVI, cal fixar ja a Europa el centre d’interès de l’àlgebra i assenyalar el final de l’àlgebra entesa com a simple tècnica molt barrejada amb l’aritmètica, i el pas a la seva independització com a branca específica de la matemàtica.

La simbolització del procés del càlcul és ja gairebé establerta: els signes + i -, que s’expliquen a vegades com a deformació de les paraules manuscrites plus i minus o com a signes que servien de temps molt antic per assenyalar els fardells que pesaven més o menys de l’estipulat; el signe =, deformació de la lletra E inicial de aequus; els signes > (major que) i < (menor que) i el signe × foren introduïts aquesta època, respectivament, per Widmann, 1549, els dos primers, Recorde, 1557, Marciat, ~1620, i Oughtred, ~1630, l’últim. L’arrel quadrada, simbolitzada de primer per un punt que precedia el nombre, fou representada després per aquest punt amb una cueta, i, el 1525, el signe radical ja era imprès gairebé com ara, amb la particularitat que les arrels d’ordre superior eren indicades repetint el mateix signe. Finalment, Descartes, el 1637, emprà ja unes notacions equivalents a les actuals.

Als segles XV i XVI la investigació matemàtica fou centrada en problemes aritmètics i algèbrics, ja que no era possible encara de superar la geometria d’Euclides i d’Apol·loni. La solució de l’equació de tercer grau fou publicada a l’Ars Magna de Cardano el 1545. Sembla que havia estat trobada a començament de segle per Dal Ferro, professor a Bolonya, que la mantenia secreta. Tartaglia la conegué a través d’un amic comú i pretenia d’haver-la inventada. Un deixeble de Cardano, Ferrari, trobà la manera de resoldre les equacions de quart grau reduint-les a d’altres de tercer grau. Llavors, molts matemàtics s’esforçaren infructuosament a trobar la solució algèbrica de les equacions de grau superior al quart. El punt culminant d’aquest període és atès per François Viète, el qual obtingué un mètode general per a resoldre les equacions de segon, de tercer i de quart grau mitjançant transformacions lineals en la incògnita, per a obtenir resolvents de grau inferior. A partir d’aquest moment, l’àlgebra fou purament simbòlica i susceptible d’una àmplia i fàcil aplicació.

A la segona meitat del segle XVIII, Vandermonde comprovà que el camí de Ferrari i de Viète no tenia sortida, en demostrar que la resolvent d’una equació de grau n, si és més gran que 4, és de grau major que n. Els assoliments fets al segle XIX representen l’alliberació de l’àlgebra dels motlles clàssics com a camí per a l’anàlisi estructural que caracteritza l’àlgebra del segle XX. L’aportació fonamental de Gauss fou l’establiment d’una teoria coherent dels nombres complexs (1831) i la introducció de les congruències. Però es trobava encara més a la vora del segle XVIII que del XX. El 1826 Abel demostrà la impossibilitat de la solució del problema en el cas general i Galois trobà, el 1832, l’essència d’aquesta impossibilitat en introduir implícitament la teoria de grups, que ja havia suggerit Cauchy poc abans.

Els algebristes anglesos arriben, entre el 1830 i el 1850, a la noció abstracta de la llei de composició. El 1843, Hamilton obtingué el primer exemple d’àlgebra no commutativa: els quaternions. Cayley donà, el 1849, la primera definició abstracta de grup. Aquesta tendència es generalitzarà durant la segona meitat del segle XIX. Jordan estudià els grups infinits, Sylow els finits; Klein els usa per a classificar les geometries (una geometria és l’estudi de les propietats que romanen invariants per l’aplicació d’una transformació de l’espai en qüestió); Lie els aplicà a l’estudi de les equacions diferencials (construí els anomenats grups de Lie).

Els matemàtics alemanys (Dedekind, Kummer, Hilbert, Kronecker) creen la teoria dels cossos i en donen una definició abstracta (Weber). Steinitz sintetitzà (1910) aquests coneixements en una exposició única; obra continuada, d’ençà del 1920, per Artin, Noether i la seva escola. El 1930 Van der Waerden publicà una obra de conjunt, de base axiomàtica.

L’àlgebra lineal, desenvolupada per Hilber, Toeplitz i Banach, embrancà amb la geometria: hom concep espais de dimensió superior a 3, generalitzant les propietats de l’espai usual. Grassmann, Möbius i Bellavitis elaboren el càlcul vectorial. Sylvester introduí les matrius i Cayley formalitzà el càlcul. Hom estudià els sistemes d’equacions lineals. Kronecker introdueix el producte tensorial i Ricci i Levi-Civita creen l’àlgebra tensorial, bàsica en geometria diferencial i en la física matemàtica moderna. Poincaré i Cartan desenvolupen el càlcul diferencial exterior.

Disciplines específiques de l’àlgebra s’han desplegat durant el segle XX: l'àlgebra homològica, nascuda de la topologia algèbrica i que ha donat lloc a la teoria de categories; la geometria algèbrica, l’àlgebra no commutativa; l’àlgebra topològica.

Col·laboració: 
ACS / EFP / CRo
Llegir més...