Segons que el cos K
sigui el dels nombres reals o el dels nombres complexos, hom parla de matriu real
o de matriu complexa
, respectivament. Cadascuna de les línies horitzontals de nombres és una fila
de la matriu, i cada línia vertical de nombres n'és una columna
. En l’exemple donat, la matriu A
té files i columnes; hom diu que A
és una matriu m
× n
. El conjunt de les matrius m
×és notat per
M m X n
( K
). Una matriu pot ésser expressada també mitjançant el seu
element genèric a i j
, en la forma A
=(
a i j
). Aquí, és l' índex de fila
i j
és l' índex de columna
. La fila formada pels elements
a i
₁
,...,
a i n
, és la i
-èsima fila, i la columna formada pels elements
a₁ j
,...,
a m j
, és la j
-èsima columna. Els elements d’una fila formen un vector de l’espai vectorial
K n
, essent K
el cos a què pertanyen; aquests vectors són anomenats vectors fila
; de manera anàloga, hom hom defineix els vectors columna
, com a vectors de
K m
. El rang
d’una matriu és la dimensió del subespai vectorial de
K m
generat pels vectors columna de la matriu, i és també la dimensió del subespai vectorial de
K n
generat pels vectors fila de la matriu. Quan la matriu només té una fila és una matriu fila
, i quan només té una columna és una matriu columna
. Quan té igual nombre de files que de columnes és una matriu quadrada
. Una matriu quadrada de files i columnes és una matriu quadrada d’ordre m
. El conjunt de matrius quadrades d’ordre és denotat per
M m
( K
). En una matriu quadrada, els elements que tenen el valor de l’índex de fila igual al valor d’índex de columna, és a dir, els elements
a i i
, són anomenats elements diagonals
formen la diagonal principal
de la matriu. La suma dels elements diagonals d’una matriu quadrada A
és la traça
de la matriu, i és notada per Tr( A
). A tota matriu quadrada hom pot associar-li un determinant
, anomenat determinant de la matriu
. El conjunt
M m X n
( K
) de les matrius m
× n
, dotat de les operacions suma
de matrius, (
a i j
)+(
b i j
)=(
a i j
+
b i j
), i producte per un escalar
de K
, α(
a i j
)=(α
a i j
), té estructura d’espai vectorial sobre K
, i té dimensió mn
. L’element neutre de la suma és la matriu nul·la
, notada per 0. Si A
és una matriu m
× n
i B
és una matriu n
× p
, hom defineix el producte
de les matrius A
i B
com la matriu C
= AB
, d’ordre m×p
, l’element genèric de la qual és
El conjunt
M m
( K
) de matrius quadrades d’ordre m
, dotat de la suma de matrius i del producte de matrius, té estructura d’anell unitari, en què l’element neutre és la matriu unitat
(o matriu identitat
), notada per
I m
; si, a més a més, hom hi considera el producte per un escalar,
M m
( K
) té estructura d’àlgebra sobre K
. La importància de les matrius en la matemàtica prové del fet que tota aplicació lineal
entre espais espais vectorials té associada una matriu, anomenada matriu de l’aplicació lineal
. Si g
és una aplicació lineal entre els espais vectorials E
i F
, i si
B E
={ e i
} i
B F
={ f i
} són bases de E F
, respectivament, l’aplicació lineal g
queda perfectament definida per la matriu M
( g
) en què la i
-èsima columna és formada per les coordenades del vector g
(
e i
) expressat en la base
B F
. En efecte, la imatge per g
d’un vector de E
és un vector de F
l’expressió del qual en la base
B F
és donada per la matriu fila que resulta del producte de la matriu M
( g
) per la matriu columna formada per les coordenades de en la base
B E
. La simplificació de les matrius quadrades és assolida mitjançant els processos de diagonalització triangularització
, o, en termes més generals, de reducció a formes canòniques. Aquests procediments consisteixen, essencialment, a resoldre l' equació característica
de la matriu, que és l’equació p
( x
)=0, on p
( x
) és el polinomi característic
de la matriu quadrada, donat per p
( x
)=det( xI
- A
), on I
és la matriu unitat del mateix ordre que la matriu A
en qüestió. Les solucions de l’equació característica (és a dir, les arrels del polinomi característic) són els valors propis
de la matriu, el conjunt dels quals formen l' espectre
de la matriu.
f
Matemàtiques
K
de la manera següent
.