i nombre natural | enciclopèdia.cat
Gran enciclopèdia catalana

nombre natural

substantiu masculím
Matemàtica
matemàtiques mat
Nombre que serveix per a comptar els elements d’un conjunt.

La manera més freqüent de representar els nombres naturals és el sistema de numeració decimal, i el conjunt dels nombres naturals acostuma a ésser representat amb la lletra ℕ. En la concepció dels nombres naturals, i també de les altres menes de nombres, hom pot donar prioritat a l’aspecte intuïtiu o a l’aspecte lògic. Des del punt de vista intuïtiu, un nombre natural és una qualitat dels conjunts equipotents; així, la classe de tots els conjunts equipotents amb el conjunt {<ι >X o Δ} és el nombre tres. L’operació “unió de conjunts sense elements comuns” engendra l’operació de “sumar nombres naturals”, i el producte cartesià de conjunts dóna lloc a la multiplicació de nombres. Hom dedueix les propietats bàsiques de l'aritmètica dels nombres naturals de la teoria de conjunts. És important d’observar que hom pot obtenir una successió de conjunts pertanyents a classes diferents partint d’un conjunt unitari (que conté un sol element), per reunió, en cada pas, amb un nou conjunt unitari, i que aquest procés és infinit. Hom obté així la successió dels nombres naturals 1, 2, 3, ..., que no té últim terme. Des del punt de vista lògic o axiomàtic (axiomàtica), hom prescindeix de tota recerca sobre la gènesi del concepte de nombre i hom accepta com a idees primitives —és a dir, que no cal definir directament— la de nombre, la d’unitat i la de següent d’un nombre, i hom imposa els cinc axiomes següents: la unitat és un nombre; el següent d’un nombre és un nombre; si els següents de dos nombres són iguals, aquests nombres també són iguals; la unitat no és següent de cap nombre; i, si ℂés un conjunt de nombres que conté la unitat i conté el següent de qualsevol nombre de ℂ, tots els nombres són continguts en ℂ. Aquest sistema d’axiomes fou enunciat per Peano l’any 1889, i permet d’obtenir totes les propietats dels nombres naturals. L’any 1902, Padoa observà que aquests cinc axiomes poden ésser reduïts a quatre, que, amb la notació formalitzada moderna, tal com ho fan Teixidor i Vaquer, poden ésser enunciats així: existeix un nombre natural 1 ∈ℕ; existeix una aplicació injectiva S: ℕ→ℕ; aquesta aplicació compleix 1 ∉S(ℕ); i, si Mℕi S(M)M, llavors M = ℕ. Hom defineix entre els nombres naturals les operacions d’addició (o suma) i de multiplicació, però no sempre són possibles llurs inverses. Així, 5-7 o 8:3 no tenen sentit en el conjunt ℕdels nombres naturals, i perquè aquestes operacions siguin possibles cal ampliar el dit conjunt. La resta és possible sempre en el conjunt (anell) dels nombres enters, i la divisió exacta és possible sempre en el conjunt (cos) dels nombres racionals.

Col·laboració: 
JCR
Llegir més...