Dues fraccions a/b, c/d són equivalents (o iguals) si, i només si, els parells de nombres enters que les constitueixen compleixen la relació ad = bc. Cada classe de fraccions equivalents en aquesta relació d’equivalència és un nombre racional. Si la fracció que defineix un nombre racional té numerador múltiple del denominador, és a dir, a = kb (k ∈ℤ), la fracció a/b és equivalent a k/1, que hom acostuma a escriure en la forma k/1 = k. En aquest sentit hom pot dir que els nombres enters són un subconjunt dels racionals. Entre els nombres racionals hom pot definir les operacions d’addició i de multiplicació i llurs inverses, la subtracció i la divisió. El conjunt ℚdels racionals amb l’addició té estructura de grup. El conjunt ℚ- {0} (racionals exceptuant el zero) amb la multiplicació, també té estructura de grup, és a dir, tot racional té invers, llevat del zero. És d’ús freqüent, sobretot en el càlcul numèric, la notació decimal dels nombres racionals: tot nombre racional admet una expressió decimal, bé amb un nombre finit de xifres decimals, bé amb una part decimal infinita periòdica (1,25 = 5/4, 2,343434... = 232/99). La teoria dels nombres racionals fou desenvolupada amb llenguatge geomètric (raó de segments) pels geòmetres grecs. Euclides, en els seus Elements, estudià els racionals positius i demostrà l’existència de segments incommensurables, és a dir, tals, que llur raó no és cap nombre racional, amb la qual cosa obrí el camí cap a la descoberta dels nombres irracionals (nombre real).
m
Matemàtiques