En la història de la teoria de nombres hom pot assenyalar dos grans períodes: un que va des d’Euclides fins a Hilbert, i un altre que comença a partir de Hilbert. Els primers tractats de teoria de nombres es troben en els Elements d’Euclides i en l'Aritmètica de Diofant d’Alexandria, i tracten, respectivament, de la divisibilitat en els racionals enters i de l’obtenció de solucions racionals i enteres d’algunes equacions algèbriques. La figura més coneguda d’aquesta primera etapa és la del matemàtic francès Pierre de Fermat (1601-65), que conjecturà el famós gran teorema de Fermat encara avui no totalment demostrat. Cal esmentar també L.Euler (1707-83) i A.M.Legendre (1752-1833), el qual enuncià la “llei de la reciprocitat quadràtica”, de la qual donà una demostració incompleta. Però el gran contribuïdor a la teoria de nombres en aquest període és C.F.Gauss (1777-1855), amb l’obra Disquisitiones arithmeticae, on tracta, entre altres, del problema de les restes quadràtiques i dels cossos ciclotòmics i on dóna sis demostracions diferents de la llei de la reciprocitat quadràtica. El defecte de la demostració de Legendre de la dita llei és la utilització del “teorema de les progressions aritmètiques”, que afirma que si a i b són nombres enters primers entre ells, la progressió aritmètica a, a + b, a + 2b, ... conté una infinitat de nombres primers. Les demostracions de Gauss no feren ús d’aquest teorema, i fou Dirichlet (1805-59) qui el demostrà mitjançant funcions. L.Kummer (1810-93) dedicà tot el seu esforç a l’intent de demostrar l’últim teorema de Fermat; això el conduí a l’estudi de l’anell dels enters d’un cos ciclotòmic, i descobrí que no sempre és vàlida la propietat de la descomposició única en factors primers. Fou aleshores quan creà uns nous enters, dits nombres ideals, que tenen una descomposició única en factors primers, i inicià, així, la teoria dels nombres algèbrics, teoria que fou sistematitzada per primera vegada en forma general per Dedekind, el qual observà també el paral·lelisme existent entre aquesta teoria i la de les funcions algèbriques. En aquest mateix camp treballà Kronecker, que es preocupà de la construcció d’extensions abelianes d’un cos quadràtic imaginari i féu la conjectura anomenada “el somni jovenívol de Kronecker”. Weber intentà de resoldre-la mitjançant les propietats de les funcions el·líptiques, i, bé que obtingué resultats molt importants, no ho aconseguí totalment. Hom pot considerar que el pas del primer període al segon és assenyalat per la publicació del Zahlbericht, de Hilbert (1879), treball que compila sistemàticament els resultats obtinguts en la teoria de nombres fins a la fi del s. XIX i que dóna les perspectives per al desenvolupament d’aquesta teoria al s. XX. Hilbert introduí el concepte de cos de classes i en conjecturà l’existència. En el Segon Congrés Internacional de Matemàtiques, celebrat a París l’any 1900, Hilbert presentà la seva famosa llista de 23 problemes, el novè i el dotzè dels quals, que es refereixen a la teoria de nombres, tracten, respectivament, de la llei general de reciprocitat (anàloga a la llei de la reciprocitat quadràtica) i de la construcció d’extensions abelianes. Hilbert observà també que ambdós problemes van íntimament lligats. Les figures que al s. XX s’han destacat més en aquest camp d’investigació de la teoria de nombres són Furtwängler (1869-1940), Hensel (1861-1941), que introduí els nombres p-àdics que donen lloc a la teoria de valoracions, Takagi, que estudià la teoria dels cossos de classe mitjançant mètodes analítics, Chevalley, que intentà l’aritmetització de la teoria dels cossos de classes, Artin, que generalitzà els resultats de Takagi i demostrà la llei de la reciprocitat general, i Hasse, que el 1930 descobrí l’íntima connexió existent entre la teoria dels cossos de classes i la teoria de les àlgebres. Actualment, els mètodes cohomològics utilitzats per Nakayama, Hochschild, el mateix Artin, Tate, Serre, etc., han permès de donar una descripció sistemàtica de la teoria dels cossos de classes. Com a observació final cal fer notar que el matemàtic rus Matijasevič ha demostrat que no pot existir cap mètode general efectiu de trobar solucions d’una equació diofàntica general, i ha donat, així, una resposta negativa a la qüestió formulada per Hilbert en el seu problema 10.
f
Matemàtiques