Si E és un espai vectorial de dimensió n sobre un cos algèbric K, hom defineix el tensor covariant d’ordre r com una aplicació Tr definida en E x E x...r x E = Er, i per a valors en K tal que és lineal en cada component, és a dir, que per a i = 1, 2, 3, ..., r es compleix:
a) Tr (x1, ...,xi + yi , ..., xr) = Tr (x₁, ...,xi ,..., xr) + Tr (x1 , ..., yi, ..., xr)
b) Tr (x₁, ..., λxi , ..., xr ) = λTr (x₁, ..., xi , ..., xr)
Els tensors covariants d’ordre 1 formen l’espai E*, anomenat dual de E, és a dir, el conjunt d’aplicacions lineals de E en K. E* és, alhora, un espai vectorial de dimensió n.
Un tensor contravariant d’ordre s és una aplicació Ts definida en E* x E* x...s x E* = (E*)s i per a valors en K tal que és lineal en cada component, és a dir, que compleix les propietats (a) i (b) anteriors però relatives als elements del dual E*.
Els tensors contravariants d’ordre 1 s’identifiquen amb els mateixos vectors de E.
Un tensor mixt r vegades covariant i s vegades contravariant T* és una aplicació de Er × (E*)s en K, que és lineal en cada component. Qualsevol tensor dels descrits anteriorment és anomenat simètric si pren valors iguals qualsevol que sigui l’ordre de col·locació dels vectors (invariant per permutacions), i és anomenat hemisimètric si, en efectuar una permutació dels seus vectors, el valor del tensor resta multiplicat per (-1)l, on l és el nombre de transposicions (permutacions binàries) en què es descompon la permutació efectuada. Així, el producte escalar és un tensor covariant d’ordre 2, simètric; tot determinant d’ordre n és un tensor covariant d’ordre n hemisimètric (o alternat).
Dos tensors mixts Tsr i T'sr amb iguals ordres donen lloc al tensor suma Tr's + Tr's, definit en Er × (E*)s per a valors en K mitjançant (si a∈Er x (Es*)s: (T ss + T'sr>/)(a) = Tsr(a) — Tsr(a).
Hom defineix el producte tensorial de dos tensors contravariants Tr i T s, anotat Tr ⊗ Ts, com un nou tensor contravariant d’ordre r + s, mitjançant la relació: ( Tr ⊗ Ts) (x1, ..., x r, y1, ..., y s) = T r (x1, ..., xr) T s (y1, ..., ys).
En l’expressió explícita d’un tensor qualsevol hom sol utilitzar el conveni d’Einstein, segons el qual, quan en una expressió monòmica figurin dos índexs repetits, cal entendre que es tracta d’una suma en la qual els esmentats índexs van sumats d’1 a n. Per exemple, T (a, b) = a i bi representa el producte escalar abans considerat.
El tensor de Kronecker té com a components els símbols de Kronecker, donats per δij = 1, si i = j, δij = 0, si i ≠ j. Un tensor és dit isotròpic si té les mateixes components en qualsevol sistema de coordenades. Els únics tensors isotròpics d’ordre dos són els múltiples escalars λδij (λ constant) del tensor de Kronecker. El tensor d’inèrcia és un tensor simètric que té com a components les quantitats:
amb ij = 1,2,3, i ≠ j), essent (xh1, xh2, xh3) per h =1,2, ..., n les coordenades de n punts on hi ha concentrades unes masses m1, m2, ..., mn.
Aquest tensor d’inèrcia permet de calcular el moment d’inèrcia I del sistema de punts respecte a una recta per l’origen amb vector director unitari (l1l2l3: I = Iijlilj. El tensor de deformació té com a components les mesures de les deformacions en diferents direccions que són motivades per una deformació infinitesimal aplicada a un cos (d’una manera mecànica o termodinàmica). El tensor de tensions té com a components les tensions en les diferents direccions a què és sotmès un cos continu al qual és aplicada una força externa. Anàlogament hom defineix el tensor d’elasticitat. La teoria tensorial és essencial en la formulació de multitud de problemes físics: la teoria electromagnètica de Maxwell, la teoria gravitacional, la teoria de la relativitat, etc. El tensor de curvatura de Riemann-Christoffel és un tensor una vegada contravariant i tres vegades covariant, definit per:
on {ijk} són els símbols de Christoffel de segona classe, lligats a l’espai de Riemann, on és considerada una forma diferenciable. Per contracció d’índexs, Rkαβk dóna el tensor de Ricci-Einstein, fonamental en la teoria gravitacional relativista. La teoria tensorial és també lligada a l’estudi de geometries riemannianes i no riemannianes, com també a l’estudi de superfícies en espais euclidians i no euclidians.