discontinuïtat

f
Matemàtiques

Discontinuïtat d’una funció: (a) discontinuitat evitable en x = 0, amb valor veritable y(0) = 0; (b) discontinuïtat de primera espècie infinita en x = 0, amb salt -2; (c) discontinuïtat de primera espècie infinita amb un punt d’infinit en x = 0; i (e) discontinuïtat de segona espècie finita en x = 0, per inexistència d’ambdós límits laterals quan x 0

© Fototeca.cat

Manca de continuïtat d’una funció en un punt o en un conjunt de punts, els quals són anomenats, per extensió, les discontinuïtats de la funció.

Atès que una funció f(x) és contínua en un punt a si i només si existeix

i és igual a f(a), la funció f(x) és discontínua en a si i només si no se satisfà alguna d’aquestes dues condicions, la qual cosa s’esdevé en els següents casos. En primer lloc, pot passar que
existeixi però que f(a) no existeixi (f no sigui definida a a), o bé que
aleshores, a és una discontinuïtat evitable, i la discontinuïtat és evitada redefinint el valor de f(x) al punt a tot assignant-li el valor
el qual és anomenat valor veritable de f(x) en a. En segon lloc, pot ocórrer que
no existeixi; aleshores, a és una discontinuïtat no evitable o essencial que, al seu torn, pot ésser de dos tipus: de primera i de segona espècie. En primer lloc és una discontinuïtat de primera espècie si existeixen els límits laterals
amb x a (límit per l’esquerra, f(a—0)) i
amb x > a (límit per la dreta, f(a+0)) però són diferents; és una discontinuïtat finita si ambdós límits són finits, i és una discontinuïtat infinita si almenys un dels dos límits laterals és infinit; la diferència f(a+0) — f(a—0) és el salt de la funció al punt a, per la qual cosa la discontinuïtat de primera espècie és també anomenada discontinuïtat de salt; si els dos límits laterals són infinits del mateix signe, f(a+0) = f(a—0) = ± ∞, a és un punt d’infinit de f(x). En segon lloc, una discontinuïtat no evitable és una discontinuïtat de segona espècie quan almenys un dels dos límits laterals, f(a+0) o f(a—0), no existeix; és una discontinuïtat finita si la funció roman fitada i és una discontinuïtat infinita en cas contrari.