Després d’un procés d’aprenentatge autodidàctic de la música, a disset anys continuà els seus estudis de piano i harmonia amb L. Köhler. El 1858 entrà a la Universitat de Königsberg per estudiar matemàtiques i física, matèries que compaginà amb les activitats com a músic amateur. Finalment, el 1860 ingressà al Conservatori Stern de Berlín, on estudià amb J. Stern (direcció), H. von Bülow (piano i contrapunt) i H. Ulrich (composició). A partir del 1862 començà la seva carrera com a músic professional, primer a Berlín i després a Winterthur i Zuric. La seva fama com a compositor prové bàsicament de l’òpera Der Widerspenstigen Zähmung (1868-72), que, tot i ser una obra que queda fora de l’òrbita wagneriana, és una de les millors opéras-comiques alemanyes del segle XIX. També compongué obres per a piano, cant, cambra i orquestra. La seva última òpera, Francesca von Rimini, quedà inacabada i fou completada pel seu amic E. Frank, el qual dugué a terme l’edició de les obres completes de Goetz.