Després d’haver iniciat estudis musicals a l’escola de música de Watford, el 1913 emigrà amb la seva família al Canadà, on Moore estudià al Conservatori de Toronto. Més endavant retornà a Anglaterra i Sir Landon Ronald li aconsellà que es dediqués a l’acompanyament. Des del 1925 acompanyà John Coats, i el 1926 oferí el primer concert a Londres. Al llarg de la seva trajectòria acompanyà els cantants més prestigiosos de la seva generació, com F. Šal’apin, F. Leider, E. Schumann, H. Hotter i, especialment, Kathleen Ferrier. Més tard tocà amb Victòria dels Àngels, J. Baker, Ch. Ludwig, D. Fischer-Dieskau i E. Schwarzkopf. L’any 1967 s’acomiadà amb un concert en el qual intervingueren Victòria dels Àngels i Elizabeth Schwarzkopf. Ha estat considerat un dels grans pianistes acompanyants del segle XX. Entre el 1949 i el 1967 impartí diversos cursos d’interpretació. És autor dels tractats: The Unshamed Accompanist (1943),Singer &Accompanist (1953), Schubert song cicles (1975), Farewell recital memories (1978) i Cal tocar menys fort? (Memòries) (1982).