Inicià els primers estudis musicals a Madrid, i a disset anys viatjà a Milà i ingressà al conservatori. A aquesta època italiana pertanyen el glòria a quatre veus, algunes cançons i l’òpera Ildegonda (1845). Acabats els estudis tornà a Madrid i dirigí un concert al Teatro del Circo per celebrar l’aniversari de la reina, on s’interpretà la simfonia de l’òpera Ildegonda i una obra de G. Rossini. El 1847 entrà a formar part de La España Musical, associació formada per compositors i artistes, com ara H. Eslava, J. Asenjo Barbieri i J. Gaztambide, que estaven decidits a donar a conèixer l’òpera espanyola. El 1848 fou nomenat mestre de cant de la reina Isabel II i començà a estrenar les seves obres al Liceo Artístico y Literario i al Teatro del Real Palacio. Després de l’estrena de la segona òpera, La conquista de Granada (1850), Arrieta tornà a Itàlia durant dos anys. El 1853, inicià una etapa d’èxits amb les sarsueles El dominó azul, El grumete i Marina, aquesta darrera estrenada el 1871 al Teatro Real de Madrid. Fou professor de composició i director del Conservatori de Madrid, i és autor de més de quaranta sarsueles, diverses òperes, sainets, drames lírics, simfonies, himnes i cançons.