Adquirí la primera formació musical al Conservatori de la seva ciutat natal i el 1921 es traslladà a Viena per rebre lliçons d’Arnold Schönberg i Alban Berg. Durant la invasió nazi veié prohibida la seva música, però a la fi de la Segona Guerra Mundial s’anà introduint en diferents institucions musicals fins a arribar a president de la secció d’Àustria de la Societat Internacional per la Música Contemporània (SIMC). Obtingué diversos premis i el 1963 fou designat director honorari de la Societat Musical de Carolina del Nord. Integrat en l’anomenada segona generació de la Segona Escola de Viena, Apostel feu evolucionar la seva música des del postromanticisme fins a un dodecafonisme molt personal. Entre les obres primerenques cal considerar les Variacions per a piano (1928), inspirades en una obra d’Oskar Kokoschka. Interessat especialment en les relacions entre les arts plàstiques i la música, intentà de traslladar les troballes d’aquelles a l’art sonor. Dins la seva obra sobresurten la composició orquestral Paralipomena dodekaphonika, opus 44 (1970), pel tractament que fa de la forma musical segons la tradició clàssica, i la música per a acompanyament dels textos de destacats poetes alemanys, com F. Hölderlin, R.M. Rilke, G. Trakl i E. Mörike.