Estudià al Conservatori Nacional de l’Havana, on es graduà amb la Medalla d’Or el 1913. Posteriorment feu una sèrie de viatges per Europa i Amèrica liderant una companyia de dansa, Los Cuban Boys. Visqué alguns anys a Nova York, on escriví música per a pel·lícules, comèdies musicals i ràdio. Pel que fa a la seva producció per al cinema, Leucona treballà per a la 20th Century Fox i la Warner Brothers (anys trenta i quaranta). De les seves obres per a piano (176 peces), una de les més conegudes és la Suite Andalucía (1930). També compongué sarsueles, com El cafetal i Lola Cruz (1943). A més, és autor de prop de 400 cançons, entre les quals destaquen Siboney i Malagueña (1912), i de trenta-set obres per a orquestra, com per exemple Rapsodia Negra (1943).