Tots els cossos s’atrauen
Tots nosaltres, cada dia, experimentem el fet que qualsevol objecte tendeix espontàniament a caure. És una experiència comuna i universal, fins al punt que els primers pensadors, en considerar-la la manifestació d’una "tendència natural" de totes les coses, ho van deixar córrer i no hi van pensar més. Com a màxim, les primeres reflexions van ser assimilades a l’observació d’un fet que, si ens hi fixàvem bé, sempre era present en els cossos que pugen espontàniament. Era el foc (o el fum o l’aire calent). El foc, com la terra, l’aire i l’aigua, era considerat antigament un dels constituents fonamentals del món i el seu comportament també era fruit d’una propensió "natural" inapel·lable.
Les complicacions respecte a la idea de la tendència natural a anar amunt o avall van aparèixer quan es va qüestionar la mateixa idea de dalt i baix. Això s’esdevingué quan, ja a l’antiguitat, es van adonar que la Terra no era plana sinó que devia ser rodona com una pilota. Què impedia, doncs, quan es recorria la superfície terrestre, de relliscar-ne en un punt determinat? Hi podia haver alguna cosa (o algú) als antípodes. Per què la Terra mateixa no queia? Com era d’esperar, també en aquest cas es va trobar una "explicació". Si imaginem una pilota en l’espai buit i res més, ens resulta impossible trobar un "sobre" i un "sota" (respecte a què, si només hi ha la pilota?); però, en canvi, és fàcil distingir allò que va cap al centre de la pilota d’allò que se n’allunya. Així, la vella propensió a pujar o baixar es va convertir en la de moure’s cap a un centre o allunyar-se’n. De fet, si tota la Terra sencera no cau és perquè és el centre, i si nosaltres tenim els peus ben plantats a terra, tant aquí com a Austràlia (o a la terra austral, encara desconeguda), és perquè el nostre cos busca espontàniament "baixar" cap al centre de la Terra.
Tampoc després d’aquestes teoritzacions, i durant molt de temps, ningú no va relacionar la "tendència cap al centre", representada pel pes dels objectes materials a la Terra, amb els cossos celestes i els seus moviments. És més, per a explicar el moviment dels planetes es va recórrer a altres causes, ja fos a la voluntat divina directament o a la dels àngels o bé a altres potències, que empenyien cada cos celeste al llarg de la seva òrbita, però no pas cap a la Terra.
Avui, amb el pas del temps, tenim les idees una mica més clares sobre com cauen els cossos, sobre com i per què es mouen els astres i sobre la relació que hi ha entre tots dos fenòmens. Aquesta visió científica de conjunt és coneguda com a teoria de la gravitació universal i la devem al gran físic anglès Isaac Newton, que cap a la fi del segle XVII va desenvolupar completament una sèrie d’intuïcions que havien anat madurant lentament en els cercles científics de l’època.
Força pes i força gravitacional
La idea fonamental és simple. Tota cosa, porció o bocí de matèria, per petit o gran que sigui, posseeix la propietat d’atreure qualsevol altre tros de matèria en virtut d’una força anomenada, precisament, força de gravitació universal. Com s’assenyala a "Moviments, forces i equilibri", aquesta és una de les forces fonamentals presents en la natura, anomenades així pels físics perquè fins ara no han pogut explicar-ne l’origen a partir de fenòmens encara més simples i elementals. Ni tan sols la llum s’escapa de l’atracció gravitacional, com ja va fer notar Einstein al principi del segle XX. Aquest fenomen va ser observat realment durant els eclipsis totals del Sol, en el decurs dels quals es va poder mesurar la desviació dels raigs de llum procedents d’alguns estels que en aquell moment es trobaven en l’esfera celeste a prop del Sol. Aquesta desviació és exactament igual que la prevista pel càlcul de l’atracció exercida pel Sol en un raig de llum en la teoria de la relativitat general d’Einstein, que és la superació de la teoria newtoniana que explicarem aquí.
La llei de gravitació universal val per a tots els objectes, inclosos els que veiem cada dia, si bé en molts casos és difícil adonar-se’n dels efectes, perquè caldria disposar d’instruments molt sensibles o perquè són anul·lats per altres causes. Si col·loquem dos objectes damunt una taula aparentment no tendeixen a moure’s l’un cap a l’altre, però això només és perquè són moltíssim més petits que la Terra, que els atreu tots dos. L’atracció recíproca és compensada en sentit contrari pel fregament amb el pla on recolzen, o sigui la taula.
Quan ens referim als cossos que són a la superfície terrestre solem anomenar força pes (o simplement pes) l’atracció gravitacional que hi exerceix la Terra. Podem mesurar directament les forces pes mitjançant un dinamòmetre, instrument constituït per una molla graduada en newtons, la unitat de mesura de les forces. També les balances normals de molla funcionen així. Pesant un litre d’aigua veurem que el dinamòmetre o la balança de molla marca 9,8 newtons. En l’apartat següent aprofundirem aquest argument.
A partir de l’estudi del moviment dels astres, primer, i d’experiments de laboratori, després, es va comprendre que l’atracció entre dos cossos disminueix en créixer la distància que els separa, en una mesura proporcional al seu quadrat; així, cada vegada que la distància es dobla, l’atracció es redueix a una quarta part.
A més, l’atracció depèn també d’una propietat característica de cada cos, que anomenem massa i que indica poc més poc menys la quantitat de matèria continguda en el cos. És difícil definir exactament què s’entén per massa i per quantitat de matèria, i insistirem en la qüestió diverses vegades. Aquí, ens interessa observar que si comparem objectes homogenis (és a dir, constituïts per la mateixa substància i amb la mateixa densitat) podem afirmar amb seguretat que l’objecte més gran té una massa superior. En el cas dels cossos celestes, les coses són més complicades, perquè hi ha estels amb densitats molt diferents, planetes sòlids i altres fenòmens. Malgrat aquestes incerteses es pot afirmar que, pel que fa al nostre sistema solar, la massa del Sol és enormement superior a la de la Terra i els altres planetes. Al seu torn, la massa de la Terra és més gran que la de la Lluna i és moltíssim més gran que la dels objectes de la vida quotidiana.
La unitat de mesura de la massa és el quilogram (kg), que correspon a la massa d’un patró determinat, però per simplificar podem considerar força aproximadament com a quilogram la massa d’un litre d’aigua destil·lada.
Tot el que hem dit fins ara a propòsit de la força de gravitació i de la força pes es pot resumir en la fórmula següent, coneguda com la llei de la gravitació universal de Newton:
en què m i M són les masses dels dos cossos que s’atreuen; F, la força amb què s’atreuen; r, la distància entre ells, i G, un número fix que s’anomena constant de gravitació universal. El valor numèric d’aquesta constant amb les nostres unitats de mesura (masses mesurades en quilograms, distàncies en metres, forces en newtons) és igual a 6,67.10-11. Es tracta d’un número molt petit (0,0000000000667) i això explica per què, malgrat la grandiosa massa de la Terra, nosaltres "només" pesem uns pocs centenars de newtons.
Massa i pes
En el llenguatge comú confonem fàcilment el concepte de massa amb el de pes. És un error, però en la pràctica no se’n solen derivar conseqüències. Amb tot, des d’un punt de vista científic, convé aclarir el significat d’aquests termes. Quan ens traslladem per la superfície terrestre d’un lloc a l’altre o pugem a pocs quilòmetres d’altitud, per exemple volant amb avió, podem verificar fàcilment, amb una balança de pesar persones, que el nostre pes es manté sensiblement constant. Per a apreciar algun canvi cal disposar d’una balança molt sensible. Si per exemple la nostra massa és de 50 kg, el pes expressat en newtons (N) serà aproximadament de 490 N, i les variacions que hauríem de mesurar en passar dels pols a l’equador o a alguns milers de metres d’altitud serien de poques centèsimes de newtons, massa petites per a ser detectades per una balança comuna per a persones.
La raó d’aquestes variacions es pot intuir fàcilment si pensem que la força d’atracció gravitacional entre la Terra i un objecte és inversament proporcional a la distància entre el centre de la Terra i el centre de l’objecte en qüestió. En desplaçar-nos als pols o a l’equador, o en volar amb avió, aquesta distància varia molt poc respecte als 6 371 km del radi mitjà terrestre, i consegüentment l’atracció gravitacional o la força pes varia poc.
Atès que, com s’ha dit, aquestes variacions són petites, a la vida quotidiana no ens en preocupem gaire i, així, quan anem a una botiga a fer la compra i encarreguem un pa de quilo no ens demanem, ni nosaltres ni el forner, si aquest quilo correspon a la massa, com hauria de ser, o al pes, que en canvi s’hauria d’expressar en newtons. És més, posaríem en un compromís el botiguer, que ens consideraria del cert gent estrafolària, si demanéssim 9,8 newtons de pa en comptes d’un pa de quilo!
Però si ens poguéssim allunyar molt de la Terra amb la nostra bàscula d’abans, veuríem que les coses canvien dràsticament. Si per exemple ens poguéssim pesar a la Lluna, descobriríem que el nostre pes s’hauria reduït de 490 newtons a una sisena part, això és, a una mica més de 80 newtons.
A cadascun dels planetes del sistema solar els valors de la força pes serien diferents, perquè dependrien de les característiques específiques de cada planeta, concretament de la massa i el radi. En canvi, durant els nostres passeigs espacials, la massa del nostre cos, és a dir, la quantitat de matèria que el constitueix, no variaria (això sí, sempre que no ens haguéssim aprimat pel cansament o les emocions!). En altres paraules, la massa és invariable mentre que el pes depèn de l’atracció gravitacional, que canvia d’un lloc a l’altre. Aquesta és la raó per la qual s’ha escollit com a patró de mesura fonamental la massa, mesurada en quilograms, i no el pes, mesurat en newtons.
La caiguda lliure
L’estudi sistemàtic del moviment dels cossos sota l’acció de forces externes (tema estudiat més a fons en "Moviments, forces i equilibri") va portar Galileu i Newton a formular els principis de la dinàmica. Aquests principis relacionen la força que s’exerceix sobre un cos, sigui quin sigui l’origen d’aquesta força, gravitatòria o no, amb el moviment que efectuarà. En concret, el segon principi estableix que quan sobre un cos de massa m actua una força externa F, el cos pateix una acceleració a proporcional a la força i inversament proporcional a la massa. Ho expressa la fórmula següent:
Aquesta expressió revela un altre significat i una altra propietat del concepte de massa. En efecte, a més de la propietat general de la gravitació, la massa d’un cos li proporciona una inèrcia, és a dir, que aquest cos no canvia espontàniament el seu estat de repòs o de moviment uniforme. Quan volem desplaçar un objecte, tal com verifiquem en la vida quotidiana, cal aplicar-li una força externa. Aquesta força haurà de ser més gran com més gran sigui la massa del cos i l’acceleració que li volem donar. La segona llei de la dinàmica també es pot expressar amb una fórmula que exposa clarament el que acabem de dir:
F = m a
Una observació que podem fer fàcilment ens permet de comprendre el significat d’aquesta llei. Si estem parats en un carrer regulat per un semàfor, quan es posa verd veiem que els cotxes acceleren ràpidament partint del repòs, mentre que els autobusos o els camions acceleren lentament i es queden enrere, encara que tinguin motors molt més potents que els dels cotxes. Aquest fet s’explica perquè la massa d’aquests mitjans de transport pesants és tan gran que, tot i aplicar una força més aviat gran, l’acceleració que en resulta es més aviat petita. Així, referint-nos a la fórmula 2, direm que si bé F és gran, m és encara més gran, per la qual cosa a resultarà més petita. I això encara és més cert en el cas d’un camió carregat, per exemple de sorra, respecte d’un de descarregat.
Des de fa molt temps els físics es fan preguntes sobre les dues propietats principals de la massa que hem il·lustrat fins ara, la gravitació i la inèrcia. Concretament s’han preguntat si el concepte de massa que hem introduït per mesurar la gravitació, mitjançant la llei de la gravitació universal, és igual al concepte de massa introduït per mesurar la inèrcia, amb la llei de la dinàmica. Aquest problema és molt delicat. Aquí ens limitarem a observar que la identitat de tots dos conceptes, massa inerta i massa gravitatòria, és a la base de la intuïció que conduí Einstein a formular l’anomenada teoria de la relativitat general. Feta aquesta precisió, podem substituir en la fórmula 1 de la gravitació universal la força F de l’expressió 3 de la llei de la dinàmica, i resulta:
Atès que, com acabem de dir, suposem que en aquesta fórmula la massa m que expressa la gravitació és igual a la que expressa la inèrcia, podem simplificar dividint els dos membres de la igualtat per m, i obtenim:
Traduïda en paraules, aquesta fórmula diu que l’acceleració que pateix un cos per efecte de la força de gravetat és proporcional a la massa terrestre i inversament proporcional al quadrat de la distància entre el cos i la Terra, segons una constant que equival a la constant de la gravitació universal. És important observar que en la nova fórmula ja no apareix la massa del cos que cau (m). Això significa que l’acceleració és independent de l’entitat de la massa dels cossos atrets o, en altres paraules, que cossos pesants i cossos lleugers cauen de la mateixa manera. Naturalment, tot això és veritat només si no intervenen altres forces, sobretot si no intervé el fregament de l’aire que tendeix a frenar la caiguda dels cossos. Per exemple, suposem que ens trobem en el buit per tal de satisfer aquesta última condició i deixem caure un floc de llana i una pedra. Doncs bé, per curiós que pugui semblar, tots dos objectes cauen amb la mateixa rapidesa i, si els deixem anar al mateix temps des de la mateixa altura, arriben alhora a terra.
A partir de l’expressió que dóna l’acceleració, o sigui de la fórmula 5, és possible calcular la llei horària del moviment, és a dir, la relació entre la posició de l’objecte que cau i el temps. Les coses se simplifiquen si imaginem que ens quedem a prop de la superfície terrestre. Ara veurem per què. La massa de la Terra és:
M = 5,977.1024 kg
El seu radi mitjà és 6 371 km, és a dir que:
R = 6,371.106 m
Introduint aquestes dades i la constant G (vegeu el final de "Força pes i força gravitacional") en la fórmula 4, que dóna l’acceleració causada per la força de gravetat, obtenim:
a = 9,822 m/s2
Si refem el càlcul per a un punt a 1 000 m d’altitud, és a dir a una distància del centre de la Terra igual a R1 = 6,372.106 m, veiem que:
a1 = 9,819 m/s2
Com podem observar, la diferència entre els dos valors és tan petita que en la majoria de les aplicacions pràctiques a la Terra es pot considerar constant l’acceleració de la gravetat, que s’indica amb la lletra g i s’aproxima al valor:
g = 9,8 m/s2
Per aquest motiu, a la Terra, el pes p d’un cos de massa igual a 1 kg és:
p = mg = 9,8 N
Si l’acceleració es pot considerar constant, aleshores el moviment és uniformement accelerat.
Quan deixem caure un cos en repòs des d’una altura h0 fins al terra, aquest cos baixarà per la vertical a una velocitat v de caiguda creixent en el temps segons la llei:
v = gt
El temps t hi és mesurat a partir de l’instant en què comença la caiguda. L’altura h sobre el terra ve donada, instant a instant, per:
La mesura de l’acceleració de la gravetat
Amb un pèndol simple es pot mesurar l’acceleració de la gravetat (g), cronometrant el període d’oscil·lació (en segons) i tenint en compte la llargada del pèndol (en metres), d’acord amb una relació matemàtica prou coneguda
Avui és possible mesurar al laboratori l’acceleració de la gravetat seguint uns procediments determinats i utilitzant aparells molt diversos. La tasca és força més senzilla que en temps de Galileu, que va haver de conformar-se amb un rellotge d’aigua rudimentari per a mesurar els intervals de temps, i va arribar a estimar l’acceleració de la gravetat de manera indirecta, utilitzant un pla inclinat.
Representació de moviment d’una poma i una fulla que cauen amb la mateixa rapidesa, en absència de fregament, és a dir, en el buit, ja que l’acceleració del moviment és independent de la massa dels cossos atrets per la gravetat.
ECSA
Entre les maneres possibles de mesurar l’acceleració de la gravetat, la més planera i que és a l’abast de tothom es pot dur a terme fàcilment a casa. N’hi ha prou amb un pèndol simple. Aquest estri és un dispositiu semblant als emprats per al mesurament del temps, més difosos en el passat, i que avui són en un racó a les cases velles o bé es compren als antiquaris. Però el pèndol que farem servir per al nostre experiment és veritablement més simple, perquè és constituït per un objecte, generalment una esfera metàl·lica, penjat d’un fil prim però resistent i inextensible, per exemple de niló. Al punt de suspensió, que pot ser un simple clau clavat en una planxa de fusta, lligarem el fil amb cura, de tal manera que el pèndol pugui oscil·lar lliurement sense impediments i amb poc fregament.
De ben segur que alguna vegada heu vist balancejar-se, sense que sembli que el vaivé hagi de cessar mai, un d’aquells enormes encensers al llarg del transsepte de la catedral amb motiu d’una gran solemnitat. Va ser precisament Galileu qui es va adonar, en circumstàncies semblants, de la regularitat d’aquestes oscil·lacions, i gràcies a les observacions d’aquest fet va poder enunciar les tres lleis d’isocronia del pèndol. La primera d’aquests lleis diu que, en oscil·lacions petites, el període d’oscil·lació, és a dir, el temps emprat per a realitzar una oscil·lació completa, d’anada i tornada, és independent de l’amplitud de l’oscil·lació; la segona llei postula que el quadrat del període d’oscil·lació és directament proporcional a la llargada del pèndol; finalment, la tercera proposa que el període d’oscil·lació no depèn de la massa de l’objecte que oscil·la.
Aplicant les lleis de la dinàmica, avui ens és possible explicar aquestes propietats, que es poden resumir així:
En aquesta relació, T és el període d’oscil·lació del pèndol mesurat en segons; l és la llargada del pèndol, mesurada en metres, des del punt de suspensió fins al centre de gravetat de l’objecte penjat del fil; i g és l’acceleració de la gravetat mesurada en m/s2.
A partir de la fórmula escrita més amunt és possible, amb alguns passos algebraics, obtenir l’acceleració g segons la fórmula:
Veiem aleshores que per a determinar l’acceleració g n’hi ha prou de mesurar la llargada l i el període T del pèndol. Per a la primera magnitud basta un metre metàl·lic normal, mentre que per a la segona cal un cronòmetre que permeti mesurar almenys dècimes de segon.
En mesurar T cal prendre algunes precaucions per tal de reduir l’error dels resultats. Després de posar el pèndol en oscil·lació (recordem que les oscil·lacions han de tenir una amplitud petita), es cronometra no una sinó diverses oscil·lacions completes. Per a determinar el període T es divideix el temps t mesurat amb el cronòmetre pel nombre n d’oscil·lacions. Així, els errors de mesurament que puguem cometre en engegar i parar el cronòmetre es distribueixen en diverses oscil·lacions i no en una de sola, i d’aquesta manera reduïm el marge d’error del resultat final del mesurament. El valor mitjà obtingut no hauria de ser gaire diferent del valor estàndard de 9,8 m/s2.
El moviment dels astres
Arribats en aquest punt podem demanar-nos, si és veritat que la gravitació és universal, per què la Lluna no cau a la Terra ni la Terra i els altres planetes cauen al Sol. La resposta és simple. En realitat la Lluna, i el mateix val per a tots els altres astres respecte al Sol, cau contínuament cap a la Terra, però no hi arriba mai.
Per què la Lluna no cau?
Un objecte llançat cap endavant descriu una corba cada cop més oberta i cau a terra cada vegada més lluny a mesura que augmenta la velocitat inicial. Amb un fort llançament, en absència d’aire i a gran altura, l’objecte llançat "cauria" sense tocar mai la superfície terrestre i entraria en òrbita
Per a veure millor com funcionen les coses hem de considerar la caiguda d’un cos que no parteixi del repòs. Imaginem que llancem un roc horitzontalment al nostre davant. El seu moviment resultarà una combinació d’allò que s’esdevindria si la força pes no existís (el roc aniria recte i horitzontal a velocitat constant) i el que faria si el deixéssim caure simplement (baixaria al llarg de la vertical que uneix la nostra mà i el terra, a una velocitat creixent), segons el que preveu la fórmula 7:
v = gt
Escena de 2001, una odissea de l’espai, la rotació del toroide permet la creació d’un ambient de gravetat artificial.
ECSA
La combinació de tots dos moviments dóna lloc a una trajectòria corbada cap avall, en forma d’arc de paràbola. Com més gran és l’impuls inicial, més ample és l’arc parabòlic i més lluny anirà a parar el roc. Imaginem que continuem llançant el roc cada vegada amb més força. Arribarà un moment en què ja no caurà al sòl sinó que, a causa de la curvatura de la Terra, passarà a gran velocitat ran de la superfície terrestre i, aprofitant encara l’impuls inicial, s’allunyarà del terra alentint-se fins a assolir una altura màxima; després tornarà a baixar, passarà ran de terra i, finalment, es trobarà sobre el punt de partida en les mateixes condicions inicials per continuar recorrent indefinidament la mateixa trajectòria tancada, que és una el·lipse; això, naturalment, sempre que no hi hagi cap efecte que el freni, com l’ocasionat pel fregament de l’aire. Aquí arribats podem dir que el roc "ha entrat en òrbita", ja que es comporta tal com fan els planetes al voltant del Sol, o la Lluna al voltant de la Terra.
Les lleis de Kepler
La primera llei de Kepler estableix que les òrbites dels planetes són el·líptiques, amb el Sol situat en un dels focus.
ECSA
Partint de l’expressió exacta de l’acceleració de la gravetat recollida per la fórmula 5:
obtenim, desenvolupant els càlculs oportuns, que la trajectòria d’un cos sotmès a un camp gravitatori com el del Sol és o bé una el·lipse o una paràbola o bé una hipèrbola. En els dos darrers casos, el cos s’allunya indefinidament del terra, mentre que l’el·lipse és una òrbita tancada, com la dels planetes.
Els cossos celestes que formen el sistema solar estan vinculats al Sol i també tracen òrbites el·líptiques, fet que igualment és vàlid per a molts cometes que tornen periòdicament a visitar-nos, com el Halley, que té un període de poc més de 76 anys.
En efecte, una paràbola és una corba oberta. Un cos que la segueix, tard o d’hora, s’allunya indefinidament del punt de partida. En canvi, els planetes tornen a passar pels traçats ja recorreguts, és a dir, recorren una línia tancada. Aquesta línia és una el·lipse, una mena de cercle aixafat.
Al començament del segle XVII, abans que la llei de la gravitació universal fos formulada, Johannes Kepler, un astrònom d’origen alemany, va aconseguir interpretar una sèrie de dades sobre el moviment dels planetes recollides pacientment pels seus predecessors durant molts anys d’intensa feina (vegeu també "Breu història de l’univers"). Kepler va enunciar les tres lleis següents, encara avui conegudes com a lleis de Kepler, que descriuen les principals característiques cinemàtiques del moviment dels planetes. La primera llei diu que l’òrbita d’un planeta al voltant del Sol és una el·lipse, un focus de la qual és ocupat pel Sol; la segona, que un planeta es mou al voltant del Sol de tal manera que el seu radi vector, és a dir, el segment ideal que uneix a cada instant el planeta al Sol, escombra àrees iguals en temps iguals; i la tercera afirma que el quadrat del període de revolució d’un planeta al voltant del Sol, o sigui el temps emprat per a efectuar una revolució sencera, és proporcional al cub del semieix major de la seva òrbita. Veiem ara aquestes lleis amb una mica més de detall.
La primera llei postula essencialment el que ja sabem sobre el tipus de trajectòria que segueixen els planetes al voltant del Sol; com també sabem, va ser Kepler qui va descobrir que es tracta d’òrbites el·líptiques. En realitat, si considerem dos objectes semblants i vinculats gravitacionalment, resulta que tots dos es mouen, i a dreta llei es pot dir que giren l’un al voltant de l’altre. En aquesta situació pot resultar difícil copsar a primera vista el caràcter el·líptic del moviment, ja que per a fer-lo evident cal escollir un "punt de vista" concret. Les coses se simplifiquen quan un dels dos cossos és molt més massís que l’altre, com és el cas del Sol respecte als planetes o de la Terra respecte als satèl·lits artificials o la Lluna. Aleshores es pot considerar "pràcticament" quiet el cos més gran, que ocupa un dels focus de l’el·lipse traçada pel cos més lleuger.
Johannes Kepler postulà la seva segona llei establint que el radi vector de l’òrbita (segment que uneix el planeta amb un dels focus) descriu àrees iguals en temps iguals. Per això, un astre incrementa la velocitat a mesura que s’apropa al Sol i viceversa.
ECSA
La segona llei estableix a quina velocitat es mou un planeta en la pròpia òrbita i, més precisament, diu que aquesta velocitat és màxima quan el planeta és a la mínima distància del Sol (és a dir, al periheli) i és mínima quan és a la distància màxima (afeli). A més, la velocitat és tal, que l’àrea coberta pel radi vector en un interval de temps determinat és constant al llarg de tota l’òrbita.
La tercera llei estableix entre els diversos planetes un vincle que permet calcular la seva distància del Sol, sempre que la distància d’algun d’ells sigui coneguda. A més, oportunament reformulada, permet determinar la massa d’un cos celeste que tingui un altre cos gravitacionalment dependent, si se’n coneix la velocitat angular i el semieix major de l’òrbita.
Les tres lleis de Kepler, com ja s’ha exposat, proporcionen l’explicació de moltes observacions astronòmiques recollides amb anterioritat. Respecte de Kepler, Newton va fer un altre gran pas endavant, ja que va trobar el perquè del perquè, justament amb la formulació d’una teoria —la de la gravitació universal— que explica les tres lleis de Kepler en identificar el fenomen físic en què es fonamenten, és a dir, l’atracció recíproca dels cossos. Totes tres lleis estan contingudes en la de la gravitació universal. Al final del segle XVII, Isaac Newton va aconseguir unificar en una llei única la mecànica terrestre (llei de Galileu de la caiguda dels cossos a la superfície de la Terra) i la mecànica celeste (lleis de Kepler del moviment planetari). Aquesta síntesi representa una fita admirable del pensament humà.
La comprovació de la tercera llei de Kepler
Quadre 2.1 Valors principals de les òrbites dels planetes.
ECSA
En temps de Kepler es coneixien les dades relatives a les òrbites de cinc planetes, Mercuri, Venus, Mart, Júpiter i Saturn, els únics identificats aleshores. En el quadre 2.1 es relacionen els valors numèrics dels períodes de revolució expressats en anys (T) i de les distàncies mitjanes del Sol (R(m), expressades en una unitat que permet simplificar els càlculs. Es tracta de la unitat astronòmica (UA), que equival a la distància Sol-Terra, és a dir, a una mica menys de 150 milions de quilòmetres.
Suposant aquesta distància igual a 1, les distàncies dels altres planetes respecte del Sol s’expressen en números relativament simples. Per exemple, la distància de Mercuri, expressada en UA, serà igual a 0,38 (per a obtenir la distància en quilòmetres hem de multiplicar la xifra per 150 milions).
Situat en una òrbita geoestacionària, a 35 880 km d’altura sobre l’equador, un satèl·lit triga vint-i-quatre hores a completar una òrbita al voltant de la Terra (el mateix temps utilitzat per la Terra quan gira sobre el seu eix). Aquest fet il·lustra la tercera llei de Kepler, que estableix relacions regulars entre els períodes de revolució i les distàncies mitjanes de dos cossos celestes.
ECSA
Kepler coneixia les dades dels períodes de revolució i de la distància mitjana. Després de diversos intents, va aconseguir demostrar que entre aquestes dades existeixen relacions numèriques regulars i, en concret, que si es divideix el quadrat del període (T) pel cub de la distància mitjana (Rm) de cada planeta sempre s’obté gairebé el mateix resultat. Això es pot expressar amb la fórmula:
Això és el mateix que dir que el quadrat del període és proporcional al cub del radi mitjà de l’òrbita (rigorosament parlant seria la longitud del semieix més gran de l’el·lipsi). I aquesta és la tercera llei de Kepler.
Ara podem comprovar la validesa de l’afirmació d’aquesta llei. Per fer-ho, calcularem en les dues primeres columnes els valors de T2/KR3m de cada planeta i en comprovarem la regularitat. Podem repetir la mateixa operació amb els valors del segon parell de columnes, obtinguts amb mesuraments molt més acurats que els de Kepler. Aleshores veurem que encara confirmen amb més força la genial intuïció d’aquest científic.