Des de jove s’interessà pel món cultural, malgrat que estudià per a pèrit industrial.
Des d’un punt de vista temàtic i cronològic, fou un exemple típic d’investigador local, coneixedor del medi objecte de les seves recerques i reflexions. Entre les temàtiques que li interessaren destaquen la història urbana de la ciutat d’Eivissa a l’Edat Mitjana i a l’Edat Moderna; la geografia de la ciutat d’Eivissa; la construcció naval eivissenca, qüestió que el dugué a escriure’n diversos articles en la revista Ibiza i a convertir-se en el primer especialista en aquesta matèria que treballà als arxius de la Comandància de Marina d’Eivissa i Formentera; poblament i divisions territorials de l’illa d’Eivissa al s. XVIII; els llinatges de les Pitiüses, i la bibliografia d’autors i temàtiques pitiüses. Per raó de les seves investigacions, mantingué contactes amb especialistes com Martín Almagro, Bartomeu Barceló i Pons, Bartomeu Escandell, Miquel Tarradell i Joan Vilà i Valentí.
El 1944 cofundà la revista Ibiza i després col·laborà en la creació de l’Instituto de Estudios Ibicencos, primera etapa de l’actual Institut d’Estudis Eivissencs, que publica la revista Eivissa, hereva de l’esmentada anteriorment.
Escriví l’obra La triple muralla de la Ibiza árabe (1962), traduïda i publicada en català l’any 1985 per l’Institut d’Estudis Eivissencs, on cerca la configuració de la vila d’Eivissa abans de la delimitació causada per l’establiment de la muralla renaixentista. Per a dur a terme aquest treball es basà en observacions de camp i en la recerca arxivística, en concret dels documents cartogràfics que trobà a l’Arxiu General de Simancas, del s. XVI, els quals Costa atribuí a l’italià Gianbattista Calvi: Ritratto grande della fortezza de Iviça.
Pòstumament el Consell Insular d’Eivissa i Formentera ha publicat Fitxes de bibliografia pitiüsa (1986), una edició a cura d’Enric Ribes i Marí. L’obra recull les fitxes bibliogràfiques d’autors i temàtiques pitiüses que Costa utilitzà en les seves investigacions. D’altra banda, La Ciutat i Badia d’Eivissa (1997) ha estat editada amb comentaris a les il·lustracions a càrrec de la historiadora eivissenca Rosa Vallès, que publica i aprofundeix els estudis i plànols fets per Costa i Ramon; és dividida en dues parts: un estudi històric sobre l’evolució de la badia d’Eivissa i els seus voltants, i un estudi sobre el nucli històric d’Eivissa i els barris que el componen (Dalt Vila, sa Penya i la Marina).
El fons personal de Costa i Ramon és localitzat a l’Arxiu Històric d’Eivissa i en mans dels seus descendents, residents a Eivissa.