Calcular a partir d’un bon mapa la superfície d’un país pla és simple. Però si el país és muntanyós, les coses ja es compliquen, ja que els mapes no en reflecteixen la superfície real, sinó la seva projecció sobre un pla. Sol ser així: darrere d’aparents banalitats sovint s’amaguen coses ben complexes. Per això, encara més complex que calcular la superfície d’un territori és establir la longitud exacta de la seva línia de costa. Teòricament el repte es pot resoldre amb un bon mapa i un simple compàs de puntes: havent pres amb el compàs una distància adequada sobre l’escala cartogràfica, es va comptant el nombre de vegades que cal desplaçar-lo per tal de recórrer tot el contorn costaner. Què passa, però, si la costa és molt retallada (i sempre n’és, de fet)?
Aleshores hom no queda convençut després de calcular el perímetre, car si l’obertura del compàs ha estat massa gran, moltes badies i caps hauran quedat fora de l’aproximació. Caldrà, doncs, repetir l’operació amb una obertura del compàs més petita per tal de recórrer a una unitat de mesura més curta i més ben inscrita en les sinuositats reals, i obtenir d’aquesta manera una precisió més gran: és clar que la longitud total de la costa, després de refer els càlculs, resultarà diferent de la primera estimació. És possible que amb aquesta segona mesura ja n’hi hagi prou, però si hom vol afinar encara més, o si hom recorre a un mapa més detallat, serà possible fer una tercera mesura. I una quarta. I tantes com calgui. I cada vegada la línia de costa resultarà més llarga. La perplexitat davant d’aquesta constatació farà acte de presència. Què està passant aquí?
Anem a un cas concret i fem aquest procés amb un mapa d’Islàndia, tot respectant l’escala situada sobre el meridià i centrada a la latitud de l’illa per tal de minimitzar les distorsions derivades de la projecció cartogràfica utilitzada. Com que hem recorregut a una carta nàutica, la separació entre cada dues ratlletes petites és de 10’, és a dir de 10 milles nàutiques, que equivalen a 18,5 km. Amb el compàs de puntes, instrument molt mariner, anem repetint l’operació amb obertures de compàs cada cop més petites, concretament de 100, 60, 20 i 10 milles. Els resultats són sorprenents: amb unitats de mesura de 100 milles —força grolleres, tanmateix— el perímetre estimat per a l’illa és de només 600 milles, mentre que amb el compàs obert a 20 milles, la línia de costa passa a fer-ne 960, i si el tanquem fins a 10 milles, el perímetre litoral d’Islàndia arriba a les 1 250 milles; si calculéssim el perímetre amb unitats de només 100 metres (0,054 milles), obtindríem una longitud de 7 060 milles, quasi dotze vegades més que en la primera mesura !
En termes matemàtics, es pot dir que qualsevol línia de costa tendeix a una longitud infinita quan augmentem molt la resolució de les nostres mesures. A nivell pràctic, com és obvi, aquesta explicació no ens serveix. Evidentment, si disminuïm el valor de la unitat de mesura fins a arribar al centímetre o al mil·límetre, el que estaríem mesurant seria el contorn de cada còdol de la platja o de cada granet de sorra, i això suposant que continuen tenint un perfil semblant a la totalitat de la costa del mapa, cosa que no és certa. Altrament, en ampliar successivament el mapa, observem que qualsevol tros de la línia de costa de qualsevol escala esdevé semblant a qualsevol altre tros de qualsevol altra escala. A aquesta propietat se li dóna el nom d’autosimilaritat. Podem dir que la manera de dibuixar la costa és independent de l’escala. Tot plegat ens situa en l’aparent paradoxa d’haver d’admetre que qualsevol costa, per retallada o rectilínia que sigui, té la mateixa indefinida longitud. Cal concloure, per tant, que la línia de costa no es comporta com una entitat mesurable amb els sistemes convencionals, potser perquè no n’és. No n’és, en efecte, i per això qualsevol objecte geomètric que presentés aquesta mena d’autosimilaritat fou qualificat de fractal per Benoit Mandelbrot, matemàtic que estudià aquesta mena de fenòmens durant els anys setanta.
De fet, el que passa és que la dimensió geomètrica d’una línia com la d’una costa retallada (i la d’Islàndia ho és força), on qualsevol tros és similar a la totalitat —si no ens movem del nivell de les típiques escales de mapes apropiats per a representar els límits pràctics del país— no és 1 (que és la pròpia de les rectes, dels cercles o dels quadrats), però tampoc no és 2 (que seria la dimensió geomètrica d’una superfície). La seva dimensió és el nombre D, un nombre fraccionari entre 1 i 2. Per a la costa d’Islàndia la dimensió és 1,33, la mateixa que per la costa oest de Gran Bretanya. És per aquest fet que les figures geomètriques que tenen autosimilaritat i la dimensió de les quals és fraccionària reben aquest nom de fractals. Estem acostumats a donar les longituds en metres lineals (m2), les superfícies en metres quadrats (m2), i els volums en metres cúbics (m2), però caldria acostumar-se a un altre ordre de percepció encara, el dels fractals. De fet, en el cas de les costes fractals, podríem donar una longitud exacta si ho féssim en m2; però si insistim a voler-la donar en m2 serà infinita, mentre que si la donem en m2 la longitud serà, lògicament 0, ja que no es tracta d’una superfície. A més, si donéssim la longitut en m2, també estaríem donant informació sobre l’estil de la forma, és a dir, sobre el grau de retallament de la costa. Així, la de Sud-àfrica, amb extenses platges lineals, té una dimensió d’1, mentre que la de Noruega és d’1,52: és una costa tan retallada que la seva dimensió queda a mig camí entre la d’una línia suau i la d’una superfície!
Moltes altres formes naturals mostren, a certes escales, una estructura de tipus fractal. Com que les figures geomètriques autosimilars mantenen a totes les escales les mateixes regles de generació, podem simular-les matemàticament, ajudats de l’ordinador. Actualment, amb els ordinadors i la televisió, es poden crear imatges d’objectes i paisatges imaginaris que semblen ben bé reals... perquè tenen la mateixa dimensió fractal que les de veritat a les quals imiten.