Net del compositor Nikolaj Sokolov i germà del violoncel·lista Massimo Amfiteatrov. Inicià els seus estudis musicals a Sant Petersburg i a Praga i més tard viatjà a Roma, on rebé lliçons de composició d’O. Respighi al Conservatori de Santa Cecília. En 1924-29 dirigí diverses orquestres italianes, amb les quals obtingué grans èxits, fins al punt que es naturalitzà italià.
Escriví obres simfòniques com Poema del mar (Roma, 1925), El miracle de les roses (Roma, 1927) i Panorama americà (París, 1936).
El 1937 es traslladà als Estats Units com a director de l’Orquestra Simfònica de Minneapolis, a Minnesota. Dos anys després anà a Hollywood, on inicià la carrera com a músic de cinema, amb bandes sonores com les de The desert fox (H. Hathaway 1951), Salome (W. Dieterle 1953), The Nacked Jungle (B. Haskin 1954), o The Mountain (E. Dmytryk 1956). N’escriví més d’una quarantena. En la seva obra, de gran sentit colorístic, es veu clarament la influència del seu mestre Respighi.