Nascut en una família de tradició carlina, professà un temps en l’orde caputxí a Lecaroz, que, per circumstàncies familiars, hagué d’abandonar per tal d’exercir com a mestre. Fundador de l’Orfeón Pamplonés (1898), el 1899 fou ordenat sacerdot després d’obtenir el benefici com a cantor de la catedral de València. Doctor en filosofia i en teologia i catedràtic de llengües clàssiques a la Universitat de València, desenvolupà una notable tasca pastoral en aquesta ciutat. El 1927, a instàncies del nunci Tedeschini, fou nomenat bisbe de Lleida, i el 1930 de Barcelona. Durant la Segona República, una campanya exigí la seva expulsió de Catalunya, cosa que no li impedí desenvolupar una intensa activitat: entre altres iniciatives, promogué la fundació de noves parròquies suburbials i d’obres d’assistència social, impulsà l’Obra dels Exercicis Parroquials i la Federació de Joves Cristians de Catalunya. El setembre del 1936, coincidint amb l’entrada dels anarquistes al govern de la Generalitat, la seu episcopal fou assaltada. Tot i que Irurita pogué fugir, pocs dies després fou detingut en un escorcoll juntament amb els germans Tort, que l’amagaven. Tancats al monestir de Sant Elies, utilitzat aleshores com a presó, foren afusellats poc temps després, segons apunten algunes fonts a Montcada (Vallès Occidental) el 3 de desembre de 1936. Tanmateix, les circumstàncies de la seva mort són controvertides, ja que, segons algunes versions, hauria estat lliurat al bàndol franquista a canvi d’un rescat o intercanviat per un presoner republicà. No obstant això, en el llibre La increïble història del bisbe Irurita (2021), el periodista i historiador Josep Maria Ràfols i Cabrisses documenta que Irurita fou assassinat al final del gener del 1939 entre els pobles d’Aravell i Ballestar (Alt Urgell) per dos militants del Sindicat de l’Alimentació.
El 10 de desembre de 1943 rebé un funeral d’estat a Barcelona que el convertí de manera oficial en un màrtir del nacionalcatolicisme, cerimònia en el qual participaren les màximes autoritats del règim a Catalunya i els cònsols de l’Alemanya nazi i del règim de Vichy.