i geometria | enciclopèdia.cat

OBRES

OBRES

Divulgació científica
Estadístiques
Gran enciclopèdia catalana

geometria

geometría (es), geometry (en)
substantiu femeníf
Matemàtica
geometría (es), geometry (en)
geometria geom
Part de la matemàtica basada en la intuïció d’espai.

El nom prové de la seva primera aplicació: la mesura de la Terra. Els diversos apartats en què hom divideix la geometria fan referència a la natura dels objectes d’estudi i al mètode emprat. Per a una definició unitària de la geometria elemental, l’any 1872 C.F. Klein proposà,en el “programa d’Erlangen”,la noció de geometria com a consideració d’un espai (el conjunt dels punts) i un grup de transformacions d’aquest espai, els invariants del qual serien les nocions de la geometria en qüestió. El primer estudi de la geometria fou de caràcter intuïtiu, i consistí en la compilació de fets relatius a mesures, sense cap procés deductiu. El Papyrus Ahmes (1550 aC) tracta de problemes de triangles i rectangles, i també hi apareix el valor 3,1605 com a valor experimental de π. Les “nou seccions” xineses (1100 aC) contenen les relacions entre els costats de certs triangles rectangles, sense evidència de demostració. El primer a utilitzar demostracions en geometria fou Tales, el qual en els seus viatges conegué la matemàtica egípcia i potser les de Creta i l’Àsia Menor. En geometria plantejà els problemes en forma abstracta, i hom li atribueix resultats com ara que els angles de la base d’un triangle isòsceles són iguals, que un angle en un semicercle és recte, etc. Pitàgores, potser deixeble de Tales, formà una escola que inicià la tradició grega en geometria. A part el teorema que duu el seu nom (bé que ja era conegut dels babilonis), hom li n'atribueix molts d’altres. En particular, atesa la manca del simbolisme de l’àlgebra, hom feia construccions geomètriques per tal d’expressar i de demostrar relacions del tipus (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab. Euclides d’Alexandria recollí la tradició grega en els seus Elements, que tracten no solament de geometria, sinó també d’aritmètica i d’àlgebra (geomètrica). A part l’aportació personal d’Euclides amb resultats concrets, el valor de la seva obra està sobretot en la seva presentació axiomàtica, precedent d’un mètode usat després generalment en tota la matemàtica. Euclides deduí les 495 proposicions dels seus Elements dels cinc famosos postulats geomètrics (Euclides), entre els quals té una gran importància el cinquè. A l’escola d’Alexandria pertanyen també Apol·loni, que té un tractat extens i profund sobre seccions còniques, i Heró, que descobrí noves propietats del triangle. Cal esmentar també Arquimedes, contemporani d’Apol·loni, que determinà centres de gravetat de moltes figures geomètriques i posà les bases del càlcul integral. Després de la caiguda d’Alexandria es perderen o es dispersaren moltes obres, que han estat conegudes gràcies a traduccions dels àrabs o per referències d’historiadors que les conegueren, com ara Pappus, considerat el darrer matemàtic grec, amb treballs precursors de la geometria projectiva. L’interès per la geometria no renasqué fins al s. XV, que amb la invenció de la impremta es difongueren els Elements. Al s. XVII, Descartes i Fermat idearen independentment la geometria analítica. El primer, en un apèndix al seu Discours de la méthode, revelà per primera vegada la potència de l’enllaç algebrageometria. Cal notar que la representació cartesiana havia estat usada ja per Apol·loni, i, doncs, el valor de l’obra de Descartes està en la sistematització d’aquest ús i en l’aplicació de mètodes algèbrics a la resolució de problemes geomètrics. Gérard Desargues publicà un petit tractat sobre les seccions còniques i les projeccions. Aquest treball no fou valorat fins dos-cents anys més tard, amb el començament de la geometria projectiva, els creadors de la qual foren J.V.Poncelet, J.Steiner i K.G.von Staudt. A la darreria del s. XVIII nasqué la geometria descriptiva, iniciada per G.Monge, que treballà principalment en geometria diferencial. El s. XIX és molt important en la història de la geometria, sobretot pel descobriment de les geometries no euclidianes i el canvi de mentalitat que comportà; també és molt important pel desenvolupament de la geometria pura o sintètica, en forta polèmica amb els partidaris del mètode analític, pel treball en geometria diferencial de K.F.Gauss i G.F.Riemann i per la revisió de la geometria euclidiana indicada per D.Hilbert i cristal·litzada en els Grundlagen der Geometrie (‘Fonaments de geometria’, 1899), on hom dóna un sistema axiomàtic complet de la geometria elemental. Finalment, cal destacar que al s. XX la geometria algèbrica i la diferencial tingueren un gran desenvolupament, relacionades amb totes les parts de la matemàtica i influïdes per elles.

La geometria algèbrica clàssica s’ocupa principalment de l’estudi de les corbes i superfícies definides mitjançant equacions algèbriques (polinomis). Els problemes d’interès es refereixen a punts singulars de les corbes, intersecció de superfícies, estudi d’invariants de les transformacions biracionals, etc. Si K és un cos algèbricament tancat, els ideals maximals (o primers) de l’anell de polinomis en n variables K [X1,...,Xn] corresponen als punts de Kn. En general, si A és un anell, hom anomena espectre primer (maximal) de A el conjunt d’ideals primers (maximals) de A. El llenguatge espectral ha esdevingut bàsic en geometria algèbrica i permet de geometritzar l’àlgebra (és a dir, de donar una visió geomètrica de molts problemes algèbrics). Com a creador de la geometria algèbrica cal esmentar Riemann, el treball del qual sobre funcions complexes fou adaptat al cas algèbric per J.W.R.Dedekind i H.Weber. En l’estudi dels invariants cal esmentar A.Clebsch, M.Noether i D.Hilbert. El màxim desenvolupament de la geometria algèbrica clàssica tingué lloc en l’escola italiana de la darreria del s. XIX i el començament del XX, en la qual es destaca F.Severi. Finalment, cal citar A.Grothendieck com a exponent principal de la nova geometria algèbrica. La geometria analítica tracta de l’estudi de les figures definides per equacions en dues variables a ℝx ℝ. El principi de la geometria analítica consisteix a identificar els punts del pla amb parelles de nombres (x,y). Aleshores les rectes corresponen a les equacions lineals en x, y, i equacions de grau superior donen diversos tipus de corbes. A part el sistema de coordenades lineals, hom pot treballar amb coordenades polars ρ, θ definides de manera que x2+y2 = ρ tg θ = y/x. El llenguatge de la geometria analítica s’estén al cas de ndimensions. De fet, per tal de marcar un límit entre els mètodes emprats en les diverses branques de la geometria, la geometria analítica tracta de l’estructura lineal de l’espai, i, així, pot ésser considerada com la geometria dels espais vectorials. Els problemes principals són aleshores els de l’estudi d’equacions de varietats lineals i llur relació amb els sistemes d’equacions, transformacions lineals, canvis de coordenades, formes multilineals, etc. De fet, doncs, la geometria analítica és la part geomètrica de l’àlgebra lineal. La geometria descriptiva tracta de la representació gràfica, en el pla, de figures de l’espai per tal de resoldre problemes amb l’ajut del dibuix. Són emprats generalment dos plans de referència, on hom projecta les figures en qüestió i després abat un pla sobre l’altre, que ve a ésser el pla del dibuix. El màxim interès de la geometria descriptiva està en la seva aplicació al dibuix tècnic, i des del punt de vista matemàtic hom pot dir que actualment no rep cap atenció. La geometria diferencial nasqué en aplicar els mètodes del càlcul infinitesimal a l’estudi de corbes i de superfícies. Aquest terme no fou introduït fins el 1894 per L.Bianchi, perquè hom considerava la geometria diferencial com una part avançada de la geometria analítica. La geometria diferencial del s. XVII es relaciona amb l’estudi de corbes, la determinació de tangents, les normals, la representació gràfica, etc. Quant a l’estudi de superfícies, L.Euler fou el primer a publicar-ne un estudi sistemàtic, on ja hi ha els conceptes de curvatura principal i seccional i es donen equacions de corbes geodèsiques. Monge estudià les superfícies desenvolupables i aplicà els resultats de la geometria diferencial a la formulació de problemes d’equacions en derivades parcials. Al s. XIX els dos geòmetres que feren evolucionar la geografia diferencial foren Gauss i Riemann. Gauss ja utilitzà les definicions de les dues primeres formes quadràtiques fonamentals i donà la definició de curvatura total d’una superfície, i Riemann donà un nou enfocament a la geometria diferencial, amb la geometria de la immersió de tal varietat a n. De fet, Riemann ja treballava en dimensió n, car tenia el concepte de geometria d’un espai, independent de la geometria intuïtiva de l’espai real. Al s. XX la geometria diferencial adquirí una gran importància des que C.G.Ricci i T.Levi-Cività crearen el llenguatge tensorial, utilitzat en la física particularment amb motiu de la intervenció de la teoria de la relativitat.

Un pas important en la història de la geometria fou l’establiment de les geometries no euclidianes. El cinquè postulat d’Euclides (per un punt exterior a una recta només passa una paral·lela) era enunciat d’una manera més complicada per Euclides (fent referència al fet que la suma dels angles d’un triangle és de 180°), en contrast amb la simplicitat dels altres, i això provocà la crítica: molts matemàtics posteriors intentaren, sense èxit, de deduir el cinquè postulat dels anteriors. Al s. XIX, J.Bolyai i N.I.Lobačevskij demostraren que prescindint del cinquè postulat, i suposant l’existència de més d’una paral·lela, hom obté una teoria geomètrica coherent en què, per exemple, la suma dels angles d’un triangle és menor de 180°. Aquest descobriment era sorprenent, perquè canviava la significació de la geometria, que era vista com a descriptiva de l’espai ordinari, i esdevenia un esquema formal sense referència immediata. Aquest fet influí molt sobre la comprensió del paper de la matemàtica en general. Cal notar que, abans dels descobridors esmentats, molts d’altres matemàtics (com en els casos de G.Saccheri i J.H.Lambert) havien estat a punt de descobrir la geometria hiperbòlica, però els faltà el pas decisiu d’acceptar la possibilitat d’una geometria distinta de la clàssica. Riemann introduí posteriorment la geometria el·líptica (en què hom suposa la no-existència de cap paral·lela), i sorgiren models per a les diverses geometries. Klein aclarí les coses interpretant la noció de geometria com a formada per un espai base, i un conjunt de transformacions, els invariants dels quals són les nocions de la geometria. Així, de la geometria projectiva i per successives especialitzacions del grup, hom obtingué la geometria afí (en què és introduït el paral·lelisme), la geometria mètrica (la distància) o, canviant el grup, la geometria el·líptica i la hiperbòlica. Aquest fet motivà que la geometria projectiva fou considerada com a bàsica.

Hi ha dues aproximacions a la geometria projectiva. El punt de vista analític parteix de la definició d’espai projectiu associat a un espai vectorial, i hom considera com a transformacions projectives les induïdes per aplicacions lineals de l’espai vectorial. Un sistema de coordenades projectives és induït per una base de l’espai vectorial i per un punt anomenat unitat del sistema. Les còniques es defineixen a partir de les formes bilineals. El punt de vista sintètic procedeix axiomàticament, partint d’aquests tres axiomes: dos punts determinen una recta (dues rectes es tallen en un punt); dues rectes que recolzen sobre dues rectes que es tallen també es tallen (axioma projectiu); i en tota recta hi ha almenys tres punts. Les transformacions projectives són aleshores les col·lineacions (que apliquen rectes en rectes), i les còniques són definibles en termes de transformacions. Un dels principis bàsics de la geometria projectiva és el principi de dualitat. Amb l’ajut del teorema de Desargues és possible de demostrar que, donada una geometria que acompleixi els axiomes esmentats, existeix un espai vectorial que la indueix. Aquest teorema fonamental de la geometria projectiva demostra el lligam entre l’àlgebra lineal i la geometria i supera la polèmica històrica entre els partidaris de la geometria pura i els de l’analítica.

Col·laboració: 
MUA
Llegir més...