Es tracta de propietats geomètriques que no depenen de cap magnitud, sinó únicament de la posició relativa dels punts. Per exemple, el fet que dos punts puguin unir-se o no per un camí, o que el nombre de cares menys el d’arestes més el de vèrtexs d’un políedre esfèric sigui sempre dos (teorema d’Euler). Aquí hom entén per transformació contínua aquella que admet una inversa i que tant ella com la inversa són contínues. L’íntima connexió que hi ha entre el concepte de continuïtat d’una funció en un punt i el d’entorn d’un punt permet de transportar l’estudi de propietats topològiques a aquells espais en els quals hom pot definir una família d’entorns: són els anomenats espais topològics (espai). Aquest estudi és l’objecte primordial de la topologia general (o conjuntista o analítica ). L’aplicació de la topologia a la resolució de qüestions geomètriques porta a la consideració d’aproximacions de les varietats geomètriques (per exemple, superfícies) per políedres (teorema d’aproximació simplicial), de manera que els complexos que en resulten poden ésser estudiats des d’un punt de vista purament algèbric, principalment per mitjà de la teoria de grups i la de grups abelians. Aquest és l’objecte primordial de la topologia algèbrica . Dues teories són la base d’aquest estudi; ambdues assignen a tot espai topològic una família de grups i a tota aplicació contínua entre espais topològics un homomorfisme entre els grups corresponents. Aquestes són la teoria d’homologia i cohomologia , que sorgeix en enfrontar-se amb l’estudi del contorn d’una varietat geomètrica (o d’un complex) mitjançant l’ús de cadenes, i la teoria d’homotopia , que apareix en estudiar quan dos espais (o dues aplicacions contínues) poden deformar-se amb continuïtat l’un en l’altre. Gottfried W.Leibniz anomenà, l’any 1679, analysis situs una ''anàlisi pròpiament geomètrica o lineal, que expressi directament situs , com l’àlgebra expressa magnitudinem '. El teorema d’Euler dels políedres, plantejat per Leonhard Euler l’any 1750, portà durant 100 anys a un progressiu, bé que incipient, desenvolupament de la topologia; l’enunciat general d’aquest teorema i la seva demostració correcta foren donats el 1850 per Ludwig Schäfli (1814 — 1895). El 1847 Johann Benedikt Listing (1808 — 1882) escriví la primera obra dedicada a aquesta matèria, que ell anomenà topologia (“estudi dels aspectes qualificatius de les formes espacials o de les lleis de connexió, de la posició mútua i de l’ordre dels punts, rectes, superfícies i cossos..., tot fent abstracció de llurs relacions de mesura i magnitud”). També en aquesta època Bernhard Riemann publicà la seva tesi doctoral, en la qual en estudiar integrals abelianes ho féu per mètodes topològics, introduint el concepte d’ordre de connexió d’una superfície i iniciant-ne la classificació. La topologia passà a ésser una branca quasi independent de la matemàtica gràcies a l’obra de Henri Poincaré (1854 — 1912) en precisar el concepte de varietat i el de políedre i en introduir els grups d’homologia i el primer grup d’homotopia, obra que continuaren, especialment, L.E.J.Brouwer, que demostrà el teorema d’invariància de la dimensió després d’introduir el concepte de grau d’una aplicació, i James W.Alexander (1888-1971). El congrés de topologia de Moscou del 1935 donà un gran impuls al desenvolupament de la topologia: Witold Hurewicz (1904-1956) introduí els grups d’homotopia, i l’escola suïssa, dirigida per Heinz Hopf (1894-1970), i la nord-americana, dirigida per Salomon Lefschetz (1884-1972), han desenvolupat les teories d’homotopia i d’homologia, que constitueixen les tècniques essencials per a la topologia algèbrica.
f
Matemàtiques
Topologia Les figures unides amb fletxes són topològicament iguals, perquè és possilbe passar de l’una a l’altra per mitjà d’una transformació contínua
© Fototeca.cat
Part de la matemàtica que estudia aquelles propietats dels conjunts de punts de la recta, del pla, de l’espai o d’espais de dimensions superiors que no són alterades per les transformacions contínues.