OBRES

OBRES

Divulgació científica
Estadístiques

Gran enciclopèdia catalana

anàlisi matemàtica

análisis infinitesimal
substantiu femeníf
Matemàtiques
análisis infinitesimal
anàlisi matemàtica Portada dels Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de Newton (1687)
© Fototeca.cat
matemàtiques mat
Part de les matemàtiques bastida sobre els conceptes bàsics de funció, límit, continuïtat, derivada i integral.

És el desenvolupament modern del càlcul infinitesimal, elaborat durant els segles XVII i XVIII, que tenia com a principals problemes el de les quadratures (determinació de la longitud d’una corba i de les àrees i volums de figures) i el de la tangència (traçat de tangents a corbes i superfícies). Els coneixements que s’anaren acumulant sobre aquests temes formaren els càlculs integral i diferencial, cor d’aquesta disciplina matemàtica. L’anàlisi matemàtica presenta els trets distintius de l’abstracció i generalitat dels seus mètodes, característics del rigor del raonament lògic.

És el resultat d’una lenta generació de conceptes claus que s’han anat imposant gradualment per efecte de llur utilitat i d’una posterior fonamentació rigurosa. El primer procés culminà durant el segle XVII i el segon durant el XIX. És conseqüència, però, de l’obra de matemàtics de totes les èpoques: es produeix tant per l’afinament gradual, imperceptible i gairebé anònim de nocions inexactes o incorrectes, com per la participació decisiva de matemàtics sobresortints.

La matemàtica grega s’aplicà a resoldre alguns problemes senzills d’extrems. Les primeres preocupacions infinitesimals es troben, però, a les paradoxes de Zenó d’Elea (~490-430 aC), com és la coneguda aporia d’Aquil·les i la tortuga, on eren implícites les nocions de límit i continuïtat. Demòcrit (~460-360 aC) sembla haver aconseguit resultats importants, possiblement relacionats amb el pensament atomista que el portà a considerar línies, superfícies i volums com magnituds compostes d’un nombre finit d’elements indivisibles. L’avenç no seria conseqüència de l’ús d’aquests conceptes ambigus, sinó de l’obtenció de resultats concrets, nombrosos però aïllats. Tot i que la manca de resultats generals i d’una classificació coherent dels problemes, permet dubtar sobre la licitud d’atorgar una excessiva rellevància als mètodes grecs, el fet és que alguns d’ells, com el mètode d’exhaustió, arribaren fins al segle XVII gràcies a llur rigor. El mètode d’exhaustió (anomenat apagògic pels matemàtics del segle XVII), del qual Antífont (~430 aC) donà els rudiments i que Eudoxi (409-356 aC) i Arquimedes (287-212 aC) perfeccionaren, era de fet una demostració per reducció a l’absurd: el càlcul d’una àrea o d’un volum es feia mitjançant aproximacions successives per defecte i per excés respecte a un valor previst (que era “evident” per si mateix o que s’obtenia per comparació amb altres problemes més coneguts), i la demostració de la validesa d’aquest era conseqüència d’evidenciar la incorrecció de les aproximacions. En la demostració no apareixia explícitament els conceptes de límit o infinit, que defugien, i no era un procediment constructiu, ans heurístic, destinat només a fer versemblant el resultat previst de principi. Amb el mètode d’exhaustió, Eudoxi calculà els volums del con i de la piràmide (així ho diu Euclides en els Elements), basant-se en anteriors raonaments de Demòcrit. Arquimedes determinà la tangent a l’espiral que duu el seu nom, però gairebé tot el seu treball es realitzà al voltant del càlcul d’àrees i volums, on féu un ús sistemàtic del mètode d’exhaustió, cosa que el convertí en el matemàtic més llegit en l’alba de l’anàlisi al segle XVI.

L’estancament de la matemàtica grega fou degut possiblement a la manca d’una cinemàtica. Tant és així que els progressos més interessants dels segles posteriors sorgiren precisament d’aquesta disciplina. L’obra dels matemàtics àrabs, a més d’algunes quadratures i càlculs de volums, apunta en aquesta direcció, així com el treball d’alguns escolàstics. Nicolau de Cusa (s. XV) identificà un cercle amb un polígon d’un nombre infinit de costats. Però el progrés definitiu s’inicià amb la publicació el 1544 de les obres d’Arquimedes, que influïren gradualment en els matemàtics de l’època. Sobre l’estàtica, treballaren Federico Commandino, Guido Ubaldo dal Monte, Simon Stevin, Luca Valerio, tots ells preocupats per problemes de determinació del centre de gravetat de diferents cossos. Sobre aquesta base, el segle XVII representà l’empenta decisiva de l’anàlisi. Fermat (1601-05) descobrí un mètode per a calcular màximes i mínimes de funcions d’una variable. Kepler (1571-1640) estudià en l'Stereometria doliorium (1615) la cubicació de 92 sòlids de revolució. Guldin (1577-1643) millorà els resultats i exposa els seus teoremes, ja coneguts per Pappus. Descartes (1596-1650) utilitzà mètodes geomètrics per a determinar la tangent o una corba, i, com ho feren també Roberval i Tonicelli, ho féu també mitjançant consideracions cinemàtiques. En la seva Geometria Indivisibilibus (1635), Cavalieri (1598-1647) proposà el mètode dels indivisibles, amb el qual calculà integrals del tipus ∫xn. Desproveït d’una definició estricta, usà els indivisibles com a noció intuïtiva i fèrtil. La seva aportació més important fou concloure l’equivalència de dos problemes que depenen de la mateixa quadratura. Aquesta possibilitat de classificar els problemes, facilitant el naixement d’un procediment de càlcul general, és el resultat més destacable des de l’obra d’Arquimedes. En una direcció semblant trobem Pascal (1623-62), el primer a usar l’expressió “suma de totes les ordenades” (1659), bé que en un sentit diferent de l’actual. Amb ell, el mètode dels indivisibles arriba al màxim nivell, i s’hi atura per manca d’un simbolisme pràctic.

El 1665 aparegueren les primeres revistes científiques, que agilitzaren la transmissió de coneixements al mateix temps que les polèmiques. Barrow (1630-77) donà en les Lectiones Geometricae (1670) la idea de calcular la tangent mitjançant el quocient d’increments, i, possiblement, relacionà el problema de les tangents amb el de l’àrea limitada per la corba, segona aportació decisiva en el camí cap als càlculs diferencial i integral. Sembla ser que John Wallis (1616-1703), en l’obra Arithmetica Infinitorum (1655), establí una definició de límit, més o menys clara, indici de la que posteriorment hauria de donar Cauchy. L’aportació fonamental a l’anàlisi és obra conjunta de Newton (1642-1727) i Leibniz (1646-1716). Ambdós elaboraren un algorisme diferencial, creen notacions útils i, Newton més que Leibniz, l’aplicaren a problemes concrets i gradualment complicats. Els orígens matemàtics de cadascun, així com les motivacions, eren diferents, però l’objectiu era el mateix. Newton necessitava del càlcul per a expressar els resultats de la seva física, i Leibniz es preocupava per l’obtenció d’un llenguatge lògic que el permetés arribar a una mecànica de la creació conceptual. Ambdós subratllaren la validesa de l’eficàcia com a guia per a esbrinar el camí correcte. Newton elaborà el seu càlcul de fluxions entre el 1665 i el 1666, però els seus resultats foren publicats molt més tard. L’usà tant en mecànica com en mecànica celeste, on avançà considerablement. Leibniz donà definicions acurades de funció algèbrica i transcendent, de paràmetre, de coordenades curvilínies, de diferencial, i elaborà una notació gairebé idèntica a l’actual (el signe d’integral, ∫, i de diferencial, d, ambdós el 1675).

Amb l’esbrinament de les fórmules elementals del càlcul, el progrés de la matemàtica i de la física i astronomia rebien una empenta definitiva. Tanmateix, la resposta dels matemàtics de l’època fou desigual. Huygens, per exemple, sembla que no va interessar-s’hi. El primer tractat de càlcul diferencial fou escrit el 1691 per Johann Bernoulli (1667-1748), però no va estar trobat fins el 1924. L’Hôpital (1661-1704) el modificà lleugerament, essent el seu tractat del 1696 el primer conegut sobre el càlcul diferencial. Des d’aleshores, i malgrat la polèmica que s’establí entre els deixebles de Newton i els de Leibniz sobre la prioritat del descobriment del càlcul, l’anàlisi experimentà un progrés constant. Els anglesos, tot i avançant més lentament per tal com rebutjaren inicialment la notació molt més adient de Leibniz, ampliaren l’obra de Newton. Destaca l’obra de Colin Maclaurin (1698-1746), Brook Taylor (1685-1731) i James Stirling (1692-1770). Al continent sobresurten Daniel Bernoulli (1700-82), Clairaut (1713-65), Lagrange (1736-1813), Laplace (1749-1827), Legendre (1752-1833), i especialment D’Alembert (1717-83) i Euler (1707-83). D’Alembert donà definicions clares de límit i derivada. Euler contribuí notablement al càlcul diferencial, aportant les notacions e, i, incorporant correctament les funcions trigonomètriques i les funcions discontínues.

Durant el segle XIX apareix, amb l’ampliació del domini de l’anàlisi que suposaren les teories d’equacions diferencials, el càlcul de variacions o les funcions de variables complexa, la necessitat de fonamentar rigorosament els conceptes i els mètodes de demostració. Bolzano (1781-1848) indicà quin era el sentit del rigor matemàtic en assenyalar que calia demostrar enunciats aparentment evidents. Una part destacada d’aquesta tasca de fonamentació fou feta per Cauchy (1789-1857), especialment en la seva obra “Cours d’Analyse” (1821). Hi donà definicions de convergència, continuïtat, funció, i límit. Definí la integral en termes del que avui diríem sumes de Riemann, i desenvolupà la teoria de funcions analítiques que Abel (1802-29), Jacobi (1804-51) i Riemann (1826-66) ampliaren. En el procés de rigorització, Weierstrass (1815-97), Dedekind (1831-1916), Méray (1835-1911) i Cantor (1845-1918) definiren amb precisió el concepte de nombre real, base de l’anàlisi moderna. El concepte d’integral fou també tractat per Cauchy, i Riemann aportà idees importants. El criteri d’integrabilitat d’una funció fou possible gràcies a la noció de continuïtat uniforme donat per Heine (1821-81). Lebesgue (1875-1941) i Borel (1871-1956) definiren el 1900 la integral de Lebesgue. Gauss (1777-1855) havia ideat la geometria diferencial, mostra de les diferents direccions que havia de prendre d’ençà del segle XIX l’anàlisi matemàtica.

Durant el segle XX la connexió amb els problemes de l’àlgebra i la topologia han generalitzat el domini comú d’aplicació d’aquestes diferents branques. Hilbert, Fréchet, Fischer, Banach, Schwartz i d’altres produiren l’anàlisi funcional (espais Lp, teoria de la mesura, distribucions) que obtingueren ressò en la física teòrica. Hom reconeix en l’anàlisi matemàtica actual les següents branques: funcions de variable real, funcions de variable complexa, equacions diferencials, anàlisi funcional, geometria diferencial, càlcul variacional i teoria de la mesura.

Col·laboració: 
ACS

Llegir més...