i conjunt | enciclopèdia.cat

☰ Navegació pels índexs

Gran enciclopèdia catalana

conjunt

Sinònim complementari agregat
substantiu masculím
Matemàtica
Sinònim complementari agregat
Representació gràfica de la relació de pertinença i de les operacions d’unió i intersecció dels conjunts
© Fototeca.cat
matemàtiques mat
Reunió d’objectes ben definits en la intuïció o en el pensament, considerada com una totalitat (Cantor).

Aquesta definició, des del punt de vista matemàtic, no és vàlida, i, així, en matemàtiques la noció de conjunt no és definida, i s’inclou dins del desenvolupament d’una teoria axiomàtica que eviti les paradoxes i contradiccions com les que, a començament del segle XX, posaren en qüestió no solament la teoria de conjunts, sinó bona part de la matemàtica.

Hom no defineix, doncs, ni conjunt, ni element, ni la relació de pertinença, i es conforma amb la idea intuïtiva del que signifiquen frases com: Un conjunt és format per elements, o l’element 4 pertany al conjunt dels nombres naturals.

La relació pertànyer s’escriu ∈; a∈A es llegeix l’element pertany al conjunt A. Hom diu que B és un subconjunt de A, escrit B⊂A, si qualsevol element de B ho és també de A. Unió de dos conjunts A i B, és el conjunt A∪B, format pels elements que són o de A o de B. Intersecció de A i B, A∩B, és el conjunt format pels elements que són alhora de A i de B. Hi ha un conjunt que no te cap element, el conjunt buit, escrit ∅, el qual és subconjunt de qualsevol altre. Dos conjunts A i B, d’intersecció buida, són disjunts. El conjunt de les parts d’un conjunt A,P(A) és el conjunt els elements del qual són els subconjunts de A. En el conjunt P(A) hom pot considerar les operacions ∪ i ∩ amb les quals P(A) té l’estructura d'àlgebra de Boole. L’estructura d’àlgebra de Boole es repeteix en diferents camps, com en el càlcul elemental de proposicions en lògica, i és important de remarcar que una àlgebra de Boole sempre admet una representació com a àlgebra de parts d’un conjunt. Hom defineix també en P(A) la diferència simètrica ∆. AB és el conjunt dels elements que són de A o de B, però no d’ambdós conjunts alhora; és a dir, AB=AB- AB. El conjuntP(A) amb les operacions ∆ i ∩ és un anell (on el conjunt conjunt buit fa de O, i A és la unitat). Partició d’un conjunt és una col·lecció de subconjunts tal, que la unió de tots és el conjunt, i la intersecció de dos subconjunts qualssevol és buida. Recobriment d’un conjunt és una col·lecció de subconjunts tal, que la unió de tots conté el conjunt donat (hom empra col·lecció com a sinònim de conjunt). Producte cartesià de dos conjunts A i B, escrit A×B, és el conjunt format per les parelles ordenades (a,b), on el primer element, a, pertany a A, i el segon, b, pertany a B. Anàlogament hom defineix el producte cartesià de diversos conjunts. Correspondència entre dos conjunts A i B és un subconjunt del producte cartesià A×B. Relació en un conjunt A és una correspondència entre A A. Segons les propietats hom parla de relació d’equivalència, d’ordre, etc. Una correspondència en què cada element de A apareix en una parella tan sols com a primer element rep el nom d'aplicació o funció. El conjunt A és el domini de la funció, i el conjunt d’elements de B que apareixen en les parelles de la funció com a segon element n'és la imatge. Segons les propietats, una funció pot ésser injectiva, exhaustiva (o epijectiva) i bijectiva. Bijecció entre dos conjunts A i B és una funció tal, que cada element de B correspon a un sol element de A. Generalitzant, la definició de qualselvol operació en un conjunt A es redueix a definir una aplicació del producte cartesià A×A en A.

D’aquesta manera hom veu com amb les nocions de conjunt i de pertinença es defineixen els conceptes bàsics de la matemàtica. La introducció d’aquest llenguatge, que facilita una màxima agilitat en les definicions i una base comuna per als desenvolupaments posteriors de les diverses branques de la matemàtica, fou molt útil en la tasca de revisió i fonamentació que hom dugué a terme a la darreria del segle XIX. Per això, quan aparegueren les paradoxes en la teoria de conjunts, la crisi afectà tota la matemàtica. Actualment aquesta terminologia és el llenguatge usual en qualsevol branca de la matemàtica.

Cantor, en estudiar les bijeccions entre conjunts, inicià la teoria de cardinals, que s’ocupa de comptar el nombre d’elements que té un conjunt. Aquest compte, trivial per als conjunts finits, no té sentit per als infinits, i per això hom introdueix la noció de cardinal. Dos conjunts són del mateix cardinal si hi ha una bijecció entre ells. Així es pot entendre que un cardinal és una classe de conjunts bijectius (equipotents) amb un conjunt donat. El cardinal d’un conjunt finit és un nombre natural, el nombre d’elements del conjunt. El cardinal del conjunt dels nombres naturals és anomenat numerable i, per tant, un conjunt és numerable si és bijectiu amb el conjunt dels nombres naturals. Cantor observà (1873) que tant el conjunt dels nombres racionals com el dels algèbrics (nombres que són arrel d’algun polinomi amb coeficients racionals) són numerables, resultats ben estranys a la intuïció. Per contra, el conjunt dels nombres reals no ho és, i el seu és anomenat cardinal continu. Si hi ha una aplicació injectiva d’un conjunt A en un conjunt B, el cardinal de B és més gros o igual que el de A. El teorema de Schröder-Bernstein assegura l’antisimetria d’aquesta relació entre cardinals: si el cardinal de A és més gros o igual que el de B, i el de B més gros o igual que el de A, A i B són del mateix cardinal. Dedekind donà la definició de conjunt infinit com el que admet un subconjunt estricte amb el mateix cardinal que el conjunt. Cantor es plantejà el problema del continu, que consistia a determinar si hi ha algun conjunt de cardinalitat intermèdia entre el numerable i el continu. L’any 1940 Gödel demostrà la impossibilitat de resoldre aquest problema, és a dir, donada una axiomàtica (com la de Von Neumann-Bernays-Gödel), admetre la “hipòtesi del continu” que nega l’existència d’un conjunt intermedi és tan coherent com negar-la. Gödel se situà en un sistema axiomàtic i demostrà la independència de la hipòtesi del continu en relació amb els altres axiomes.

Actualment la hipòtesi del continu s’ha imposat, i en depenen molts resultats de l’anàlisi. No acceptar-la condueix a una altra matemàtica, més pobra en resultats. Cantor demostrà també que el cardinal d’un conjunt sempre és estrictament superat pel cardinal del conjunt de les parts. D’aquesta manera hom veu que pot haver-hi una infinitat de cardinals infinits diferents. Parlar del conjunt de tots els cardinals porta a contradicció, car el cardinal d’aquest conjunt hauria d’ésser estrictament inferior al del conjunt de les parts, i aquest cardinal fóra el d’un subconjunt estricte del conjunt de tots els cardinals (de fet, s’hauria de dir que el cardinal del conjunt de cardinals estrictament inferiors a un cardinal donat és precisament aquest donat; en aquesta teoria, i en general en teoria de conjunts, quan hom parla dels nombres naturals s’han de considerar a partir de la construcció conjuntística que hom en fa). La teoria d'ordinals, que Cantor inicià a partir de la conjectura que féu del fet que qualsevol conjunt admet una bona ordenació, com efectivament fou demostrat més tard per Zermelo, tracta dels nombres ordinals que són els possibles “bons ordres”. Un nombre ordinal és un conjunt ben ordenat, on cada element és també subconjunt. Cantor mateix s’adonà del que Burali Forti publicà el 1897: no hi pot haver el conjunt de tots els ordinals, car seria ben ordenat i isomorf a un dels seus segments, la qual cosa és absurda. Fins aleshores, les paradoxes havien sorgit en les parts més elaborades de la teoria (cardinals i ordinals), considerades com a regions perifèriques de la matemàtica. Per això, quan Bertrand Russell mostrà, el 1903, la paradoxa que sorgia en considerar el conjunt de tots els conjunts que no són elements d’ells mateixos, que només incloïa les nocions més elementals de la teoria, calgué fer una revisió urgent dels fonaments d’aquesta teoria, i, en definitiva, de la matemàtica, que hi estava tan lligada. Hom pot formular així la paradoxa: hi ha conjunts que sembla que siguin elements d’ells mateixos (per exemple, el conjunt de tots els conjunts), però n'hi ha molts que no són elements d’ells mateixos; considerem, doncs, que J és el conjunt de tots els conjunts que no són elements d’ells mateixos. Aleshores, si J és un element de J, compleix la condició que defineix J i, per tant, no és element de J. Si J no és element de J, J és un conjunt que no és element d’ell mateix, i, per tant, J pertany a J. O sigui, JJ implica JJ, i al revés: contradicció. Una altra paradoxa formulada per Russell, però deguda a Richard, diu així: hom pren el conjunt dels nombres naturals que es poden definir en menys de vuitanta lletres (per exemple, en català). Aquest conjunt és finit, car el nombre d’agrupacions possibles de 80 lletres ho és, bé que no totes descriuen un nombre; per tant, hi haurà un nombre que serà el més petit, i 80 lletres no són suficients per a definir-lo. Si hom parla del nombre més petit que no es pot definir amb menys de vuitanta lletres, ja ha estat definit, i s’ha caigut en contradicció. Aquesta segona paradoxa no entrava tant en la teoria de conjunts, però contribuí a fer-ne més urgent la revisió dels fonaments. Les respostes a aquesta situació foren diverses. Russell es proposà d’analitzar-ne a fons les paradoxes i descobrí que totes violaven el principi del cercle viciós: un element, la definició del qual implica la totalitat dels elements d’un conjunt, no pot pertànyer al conjunt. Partint d’aquest enunciat, Russell i Whitehead construïren la teoria dels tipus en la gran obra Principia Mathematica. La lògica dels Principia estableix una classificació partint d’un domini d’individus qualificats com a objectes d’ordre 0; les relacions en què les variables són els individus són anomenades objectes d’ordre 1. I, en general, les relacions on les variables són objectes d’ordre n o menor són objectes d’ordre n+1. Amb aquest sistema hom elimina les paradoxes, però la jerarquia establerta dels tipus és tan restrictiva i tan poc àgil, que la seva utilització comporta una complexitat remarcable. Actualment hom considera que el treball de Russell té valor històric, però els matemàtics el deixen de banda, perquè, a més, hi ha parts molt obscures, i pràcticament no ha tingut continuadors. D’altra banda, Zermelo proposà d’axiomatitzar la teoria, limitant-la al fet que no hi poguessin aparèixer conjunts que portessin a contradicció, però anant amb compte que les restriccions fossin les justes, i, així, la teoria pogués mantenir la seva utilitat. Zermelo admetia que una propietat determina un conjunt, però en el cas que la propietat fos definida ja pels elements d’un altre conjunt més ampli. Els axiomes de Zermelo foren recollits i ampliats per Fraenkel, el qual completà la primera axiomatització que hom féu de la teoria. Posteriorment, Von Neumann construí una altra axiomatització tornant a la idea de Cantor i distingint entre classe i conjunt. Una classe és un concepte més general, i els conjunts són restringits per tal que no tinguin cap possibilitat de contradicció. Segons el sistema de Von Neumann, completat per Bernays i Gödel, en l’axiomatització, les idees intuïtives no tenen cap valor teòric i tant les classes com els conjunts, com la relació ∈, no es remeten a cap interpretació exterior Cal tenir en compte, però, que els axiomes són escollits de manera que sigui possible la interpretació en els termes de la teoria intuïtiva, bé que això no pot influir en el desenvolupament formal del sistema. Per tal de remarcar-ho, la formulació d’una axiomàtica és feta gairebé sempre en un llenguatge formalitzat, que inclogui els signes de la lògica i els signes particulars de la teoria. Per tal de simplificar-ho, hom pot enunciar, però, els axiomes en llenguatge intuïtiu, és a dir, fent-ne la següent interpretació: les variables que intervenen en la teoria formalitzada poden ésser considerades com a classes, i en particular les classes que són elements d’unes altres classes són anomenades conjunts. Von Neumann admet que, donada una condició, hi ha la classe de les coses que verifiquen aquella condició. La restricció és que hi haurà unes certes classes, anomenades últimes, que no podran ésser element de cap classe. Tenint les classes i una relació binària ∈els axiomes n'organitzaran el funcionament. El primer axioma, el d'extensió, diu que una classe és determinada pels seus elements, és a dir, que dues classes amb els mateixos elements coincideixen. El segon, proposat per Zermelo, afirma que, donada una propietat, hi ha la classe dels conjunts amb aquella propietat. Així es redueix la idea clàssica que acceptava aquest enunciat, amb la substitució de classe per conjunt, que originava la paradoxa de Russell. En particular, per exemple, la propietat dels conjunts de no ésser element del propi conjunt dóna lloc a una classe, que és una classe última, i, per tant, no és conjunt (de fet, hom ja demostra amb aquests axiomes que aquesta classe és la de tots els conjunts, o sigui, que no admet que un conjunt sigui element d’ell mateix). El tercer és l'axioma de les parts, i estableix que, donat un conjunt A, hi ha la classe dels subconjunts de conjunt producte cartesià de dos conjunts. El quart és el de la formació de parelles. Assegura que, donats dos conjunts, hi ha un conjunt els elements del qual són ambdós conjunts donats. El cinquè és el de la unió i diu que, donada una col·lecció de conjunts, hi ha la unió dels conjunts, i és un conjunt. El sisè estableix l’existència del conjunt dels nombres naturals, és a dir, que la classe dels nombres naturals és un conjunt; hom l’anomena d'infinitud, perquè assegura l’existència d’un conjunt infinit. El setè és el de fundació, introduït per Von Neumann, un dels més estranys a la intuïció, el qual afirma que qualsevol classe no buida conté un element que li és disjunt. En els exemples intuïtius immediats aquesta propietat es compleix, i la raó de la seva introducció com a axioma és restrictiva: evita que apareguin conjunts perillosos que puguin produir paradoxes. El vuitè s’ha d’entendre a partir de la definició de funció com a subclasse del producte cartesià de dues classes, amb la condició ja donada. Afirma que, donada una funció, si el domini és un conjunt, la imatge també és un conjunt. I el novè, que ha estat el més debatut, és el de l'elecció, formulat per Zermelo. Donada una col·lecció de conjunts, hi ha una llei que tria un element de cada conjunt, o, més pròpiament dit, hi ha una funció (dita d'), el domini de la qual és la col·lecció donada, i que assigna a cada conjunt de la col·lecció un element del conjunt. Bé que la interpretació intuïtiva de l’axioma pugui fer semblar que és molt natural que es doni l’elecció, hi ha nombrosos exemples en els quals costa d’acceptar intuïtivament una llei d’aquesta mena, o, si més no, hi ha impossibilitat pràctica de construir-la. Quan Zermelo l’explicà el 1904, ja havia estat utilitzada implícitament en moltes demostracions de l’anàlisi, i hom posà en qüestió la validesa d’aquestes demostracions. Molts es resistiren a acceptar la possibilitat d’una infinitat numerable o no numerable d’eleccions, que hom no pot imaginar realitzades actualment. Finalment, Gödel demostrà la independència d’aquest axioma respecte als altres, i acceptar-los ja era una qüestió d’opció. Puix que molts resultats clàssics el necessiten, actualment és acceptat universalment, així com la hipòtesi del continu, que hom hi afegeix com a darrer axioma. És interessant de notar que l’axioma d’elecció té força equivalents, com serien: el Lema de Zorn (un conjunt ordenat inductivament té un element maximal), o el principi de la bona ordenació: qualsevol conjunt admet un bon ordre, o finalment: el producte cartesià d’una col·lecció qualsevol de conjunts no és buit.

Col·laboració: 
MUA
Llegir més...