i espai vectorial | enciclopèdia.cat

OBRES

OBRES

Divulgació científica
Estadístiques
Gran enciclopèdia catalana

espai vectorial

substantiu masculím
Matemàtica
matemàtiques mat
Grup abelià E en el qual hi ha definida una llei de composició externa amb elements d’un cos K , K × E → E tal, que al parell (λ, e ) correspon l’element λ e .

I acomplint-se les propietats (λ + μ) e = λ e + μ e , λ( e + f ) = λ e + λ f , λ(μ e ) = (λμ) e i 1 e = e . Els elements de E són anomenats vectors , i els elements de K , escalars . Una part de E que sigui subgrup respecte a la suma i que sigui estable respecte al producte per qualsevol escalar, és anomenada subespai de E , i amb les mateixes operacions de E és un altre espai vectorial. Si F és un subespai de E , hom pot definir congruències a E mitjançant la relació d’equivalència xy mòd F , si i només si la diferència x — y pertany a F . Això permet de formar el conjunt quocient E/F (quocient), el qual, definint la suma x + y = x + y i el producte per escalars λ x = λ x , es converteix en un nou espai vectorial dit espai quocient de E pel subespai F . Tot vector de E que hom pugui expressar en la forma x = λ 1 ν 1 + λ 2 ν 2 + ... + λ k ν k és anomenat combinació lineal dels vectors ν 1 , ..., ν k , i forma un subespai vectorial de E anomenat subespai generat o engendrat pels vectors ν 1 , ν 2 ,...,ν k , dits també generadors del subespai . Un sistema de vectors {ν i }, i∈I , és anomenat linealment independent si les úniques combinacions lineals dels seus elements, que són zero, són les que tenen tots els coeficients igualats a zero. Un conjunt de generadors de l’espai E que siguin linealment independents rep el nom de base. Es demostra que tot espai vectorial admet una base i que totes les bases d’un espai vectorial tenen el mateix cardinal, i en particular, si són finites, totes tenen el mateix nombre d’elements. Aquest nombre és la dimensió de l’espai. Tot vector pot ésser expressat en funció de la base en forma de combinació lineal i l’expressió és única. Els coeficients que formen part de la combinació lineal són les components del vector en la base donada. Si E i F són dos espais vectorials, una aplicació f:E → F és anomenada lineal o morfisme si verifica f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ), fx ) = λ f ( x ) per a tot x,y de E i tot λ de K . El conjunt d’elements de E que tenen imatge nul·la en l’aplicació és anomenat nucli del morfisme f (Nuc f , o Ker f ) i és un subespai de E ; el conjunt d’elements de F que són imatge d’algun element de E és anomenat imatge de f (Im f ) i és un subespai de F . Es verifica que el quocient de E pel nucli del morfisme és isomorf a la imatge. En el cas que E i F siguin de dimensió finita, les imatges dels vectors d’una base e 1 ,..., e n de E generen Im f , la dimensió de Im f que és el nombre de vectors f ( e 1 ),..., f ( e n ) linealment independents és anomenada rang de l’aplicació lineal. Expressant els vectors f ( e i ) en una base ν 1 ,...,ν m de F hom obté fórmules del tipus

i els coeficients a i j disposats en la forma de matriu donen lloc a la matriu de l’aplicació f en les bases e i , u j de E i F , respectivament. El conjunt de totes les aplicacions lineals de E a F pot ésser estructurat com a espai vectorial definint una suma i un producte per escalars; aquest nou espai designat per L(E,F) , té dimensió mn , essent n i m les dimensions de E i F . Si f i g són aplicacions lineals de E a F de F a G , respectivament, la composició g°f és un morfisme de E a G , que en prendre bases en els tres espais té una matriu que és el producte de les matrius de f i de g . Amb el producte esmentat i la suma, l’espai L(E,E) és un anell isomorf a l’anell de matrius quadrades d’ordre n (anell). Per a trobar la imatge d’un vector en una aplicació lineal, hom pot multiplicar la matriu de l’aplicació per la matriu columna formada per les components del vector en la base corresponent. En intentar aplicar aquest mètode per a trobar l’antiimatge d’un vector, hom arriba a l’estudi dels sistemes d’equacions lineals (equació), la discussió i la resolució dels quals són fetes per mitjà de la teoria d’espais vectorials. Les aplicacions lineals de l’espai vectorial E en el cos K són anomenades formes lineals i formen un espai vectorial anomenat dual de l’espai E . Si l’espai té dimensió finita, la dimensió de l’espai dual coincideix amb la de l’espai E . El dual de l’espai E es denota per o E * . En el cas de dimensió finita, les formes lineals són representades per matrius d’una sola fila i n columnes. L’espai dual de o bidual de E , que és denotat per E' o E * * , és en el cas de dimensió finita canònicament isomorf a l’espai de partida E . En el cas de dimensió infinita, l’espai bidual és en general de dimensió més gran que la de E . La part de l’àlgebra que estudia l’estructura d’espai vectorial és anomenada àlgebra lineal . El seu origen té lloc en la geometria analítica, començada a desenvolupar per R.Descartes, bé que insinuada per P.Fermat. No és, però, fins a Gauss que apareix la suma de vectors de l’espai euclidià correctament manejada, i fins a Grassmann, Möbius i Hamilton que s’estableix el concepte abstracte d’espai vectorial. Bé que en l’obra de Gauss comencen a haver espais vectorials de dimensió n qualsevol, no és fins a Cayley i Grassmann que l’estudi d’espais de dimensió més gran de tres es fa amb naturalitat, prescindint de qüestions d’interpretació de les dimensions superiors.

Llegir més...