Segons els casos, hom fa ús d’un o de l’altre dels dos sinònims, funció o aplicació; així, hom parla d’aplicació entre conjunts no numèrics o d’aplicació injectiva, però de funció entre conjunts numèrics o de funció derivable. El concepte de funció és un dels conceptes fonamentals de la matemàtica. Una funció entre dos conjunts A i B és representada per la notació f:A →B; A és el domini de definició o el camp d’existència de f, i el subconjunt de B format per les imatges dels elements de A, denotat per f(A), és la imatge, abast, rang o recorregut de f. Si x representa un element qualsevol de A i y representa un element qualsevol de f(A), hom diu que x és la variable independent i que y és la variable dependent de f, i representa la funció f mitjançant l’assignació x →y=f(x). Hom diu aleshores que y és funció de x. Amb la notació emprada, f és una funció de variable x i valors y; si A és, per exemple, el cos dels nombres reals, ℝ, f és una funció de variable real, i si B és, per exemple, el cos dels nombres complexos, ℂ, f és una funció de valors complexos o, simplement, complexa. Hom parla de funcions d’una variable, f(x), i de funcions de diverses variables, variables, f(x1 ,...,xn ). En el cas d’una funció real de variable real, el conjunt de punts del pla (x, f(x)), obtinguts en variar x en el domini de definició de f, es la gràfica de la funció f. Les operacions entre funcions (suma, producte, composició, etc) atorguen estructura algèbrica als conjunts de funcions; així, per exemple, el conjunt de funcions reals de variable real dotat de la suma [(f+g)(x)=f(x)+g(x)) i del producte [(fg)(x)=f(x)g(x)) de funcions és un anell abelià unitari; si és dotat de la suma i del producte per un nombre real [(af)(x)=af(x)), és un espai vectorial; i si ho és de la suma i producte de funcions i del producte per un nombre real, és una àlgebra associativa unitària. La topologia dels conjunts funcionals és l’objecte de l'anàlisi funcional mentre que les propietats analítiques (continuïtat, derivabilitat, integrabilitat, etc) són estudiades per l'anàlisi matemàtica. Ultra les funcions caracteritzades per la seva forma funcional (funcions racionals, funcions irracionals, funcions transcendents, etc) o per les seves propietats (funcions contínues, funcions derivables, funcions integrables, etc), hi ha funcions concretes que reben un nom propi atesa llur importància o utilitat (funció exponencial, funció logarítmica, funció sinus, etc), nom que sovint recorda la contribució d’algun matemàtic (funcions de Bessel, funcions de Green, funció de Heaviside, etc). D’altra banda, hom utilitza sovint, però incorrectament, la denominació de funció per a designar correspondències que no són realment aplicacions, com és el cas de les funcions multiformes o d’algunes funcions generalitzades, com la delta de Dirac, que són realment distribucions (distribució).
f
Matemàtiques