nombre real

ℝ

m

Matemàtiques

Cadascun dels nombres que hom pot obtenir en mesurar magnituds contínues.

Hom obté el conjunt dels nombres reals completant el conjunt dels nombres racionals amb tots els nombres irracionals que poden ésser representats sobre la recta, tals com

etc. La manera més simple d’introduir teòricament i d’utilitzar en la pràctica els nombres reals és per mitjà de llur expressió decimal. Tot nombre real és expressat en forma decimal amb infinites xifres que, en el cas dels nombres irracionals, no es repeteixen periòdicament. Això suposa que per a definir un nombre real cal donar una llei que permeti d’obtenir tantes xifres decimals com hom vulgui. A la pràctica, però, hom pren només algunes de les xifres, segons l’aproximació desitjada. Aquest mètode, lligat a la representació decimal dels nombres, és el preferit en la matemàtica pràctica. La matemàtica grega, assimilant el concepte de nombre al de raó de dos segments, havia obtingut una teoria dels nombres vàlida per als nombres reals. En particular, en reconèixer la incommensurabilitat de la diagonal del quadrat i el seu costat, donà el primer exemple de nombre irracional

Al començament del s. XIX, Cauchy i Bolzano precisaren les nocions de límit d’una sèrie i límit d’una successió, per mitjà de les quals és definit el nombre real i en són estudiades totes les propietats. Les successions decimals són un cas particular de les successions de Cauchy. Posteriorment, Cantor desenvolupà la teoria del nombre real pel mètode dels segments encaixats, cadascun contingut en l’anterior i amb longitud que tendeix a zero, i Dedekind ho féu per mitjà de seccions en el conjunt dels nombres racionals. El conjunt de tots els nombres reals és representat per ℝ. La denominació de nombre “real” prové del fet que poden ésser representats geomètricament sobre una recta en la qual ha estat elegit un origen i una unitat de mesura, en oposició al cas dels nombres “imaginaris”, que no poden ésser representats així. Hom pot enunciar la definició axiomàtica del conjunt dels nombres reals dient que és un cos ordenat, arquimedià i complet.