Una corba sempre pot ser considerada com una infinitat simple de punts, i aquest és el plantejament adoptat pels matemàtics en l’estudi de les corbes contínues (topologia). En aquest sentit, una corba és el conjunt de punts de ℝ n que és homeomorf amb un interval [a,b] ⊂ ℝ . Seguint Menger hom podria considerar les corbes al pla (espai) com a objectes de dimensió topològica 1 ja que tota circumferència (superfície esfèrica) de centre un punt de la corba la talla en un conjunt de punts de dimensió zero (punts que són centres de circumferències (superfícies esfèriques) que no contenen altres punts del conjunt).
Les corbes s’estudien generalment com les gràfiques d’equacions utilitzant un determinat sistema de coordenades. Donada una corba de ℝ n, l’equació (o sistema d’equacions) satisfeta únicament per les coordenades cartesianes dels punts de la corba s’anomena equació cartesiana de la corba. Així en el pla, una corba és el conjunt de punts de ℝ 2 tals que les seves coordenades satisfan una equació del tipus F(x,y) = 0, mentre que a ℝ 3 una corba és formada pels punts que satisfan un sistema {F(x,y,z) = 0, G(x,y,z) = 0} de dues equacions amb tres incògnites. Quan en el pla es pot aïllar una incògnita, y = f(x), es parla d’equació explícita de la corba.
Corbes algèbriques de grau més gran que quatre
Corbes transcendents
Segons el tipus d’equació o equacions cartesianes que representen una corba, aquesta rep el nom de corba algèbrica, si admet una representació mitjançant equacions algèbriques, i el de corba transcendent, en cas contrari. En el pla, si F(x,y) = 0 és un polinomi de grau n, aleshores la corba associada és una corba algèbrica de grau n. Per a n = 1 s’obté una recta, per a n = 2 una cònica, per a graus tres, quatre... s’obtenen corbes cúbiques, quàrtiques, etc. Una altra manera de representar una corba consisteix a expressar les coordenades dels seus punts respecte d’un sistema de referència donat, com a funcions d’un paràmetre anomenades equacions paramètriques de la corba. Així, per exemple, una corba parametritzada a l’espai pot representar-se per tres funcions uniparamètriques de la forma x = x(t), y = y(t) i z = z(t) amb t variant dins d’un interval dels nombres reals. Si bé tota corba parametritzada admet una infinitat de parametritzacions diferents, en alguns casos el terme equacions paramètriques es refereix a un paràmetre intrínsecament relacionat amb la corba. Per exemple, quan es parla de les equacions paramètriques de la circumferència es refereix a x = r cos t, y = r sin t essent r el radi i t l’angle central. Per altra banda, a l’espai, una corba totalment continguda en un pla s’anomena corba plana i en cas contrari s’anomena guerxa (per exemple l’hèlix). Una corba és tancada si no té extrems. És a dir, és la imatge d’un interval tancat [a,b] per una funció tal que f(a) = f(b). Una corba oberta, que té extrems, també s’anomena un arc.