Segons quin sigui el valor de n i les propietats de f, hom distingeix diversos tipus de formes. Hom diu que f és una forma lineal (o funcional lineal) si, per a x i y de E i λ de K, f satisfà f(x+y) = f(x)+f(y) i f(λx) = λf(x). El conjunt de formes lineals d’un espai vectorial E sobre el seu K, és E*, espai dual. Si hom pot considerar E com a producte cartesià de n espais vectorials, una forma f transforma tot conjunt ordenat de n vectors en un escalar de K; si aquesta f, en ésser restringida a un vector qualsevol, constitueix una forma lineal, f és anomenada forma multilineal. Un cas particular és la forma bilineal definida sobre l’espai E2 . Si per a una forma bilineal f es compleix f(x,y) = f(y,x), on x,y són vectors de E, f és anomenada forma bilineal simètrica. Per a una forma bilineal simètrica f(x,y) hom pot definir una forma F, anomenada quadràtica, de manera que F(x) = f(x,x). Una forma quadràtica serà definida positiva si per a qualsevol x ≠0 és F(x)>0. Si f(x,y)=0, y és el conjugat de x, i el conjunt de tots els y conjugats amb un x donat forma un subespai vectorial de E i d’una dimensió menys que no pas E. Una forma multilineal, per a la qual la permutació en dos vectors en canvia el signe, és dita alternada. Una forma f és anomenada hermítica si f(x, y) = f(y,x), on f és algun tipus de conjugació en el cos K; reduïda al cos ℝ, una forma hermítica és una forma bilineal simètrica, i en el cas del cos ℂ, f(x,y) = [f(x,y)]*, on l’asterisc indica el complex conjugat.
f
Matemàtiques