i base d’un espai vectorial | enciclopèdia.cat

☰ Navegació pels sumaris

Gran enciclopèdia catalana

base d’un espai vectorial

substantiu femeníf
Matemàtica
àlgebra àlg
Conjunt de vectors linealment independents que generen l’ espai vectorial mitjançant combinacions lineals, és a dir, tals que qualsevol vector v de l’espai pot ésser expressat d’una manera unívoca com a combinació lineal dels vectors de la base: 

Les coordenades ( a 1 ,..., a n ) de v en la base [ e 1 ,..., e n ] són úniques. Tot espai vectorial té una base (és una conseqüència de l’axioma de Zermelo). Si l’espai E té una base formada per un nombre finit d’elements (base finita) l’espai és de dimensió finita ; aleshores totes les bases tenen el mateix nombre d’elements, nombre que s’anomena la dimensió de l’espai , dim E . Un espai vectorial de dimensió finita té infinites bases. Dues bases de E , B =[ e 1 ,..., e n ] i B' =[ e ' 1 ,..., e ' n ] es relacionen mitjançant una matriu de canvi de base :

essent

és a dir, les matrius A i B són inverses: B = A - 1 . La matriu A permet de fer un canvi de base , és a dir, obtenir les coordenades en la base B ' d’un vector qualsevol v a partir de les seves coordenades en la base B :

Un espai té dimensió infinita si donat un nombre natural n és possible de trobar-hi n vectors linealment independents. Una base d’un espai de dimensió infinita és un conjunt de vectors, generalment numerable, tal que qualsevol vector de l’espai pot ésser expressat com a combinació lineal finita o infinita (en el sentit d’una sèrie que convergeix segons alguna noció de límit) dels seus elements.

Col·laboració: 
ACS
Llegir més...