Des de jove treballà a l’empresa surera familiar fundada pel seu pare, Llorenç Mundet. Emigrat als Estats Units, el 1895 obrí a Nova York un taller d’aglomerats de suro des d’on fabricava i distribuïa articles fets amb suro enviat des de Sant Antoni de Calonge. El 1902 obrí una fàbrica al Canadà que, afegida a l’establerta pel seu germà Artur Mundet a Mèxic, expandí el negoci al continent americà. El 1905 l’empresa obrí una altra fàbrica a Seixal (Portugal), localitat on, amb el nom de Mundet & Sons (posteriorment Mundet & Cia) establí la seu el 1906. Amb el canvi d’especialització, que passà dels taps de suro a l’aglomerat, l’empresa aconseguí una gran expansió i se situà entre les primeres del món del sector. A la dècada de 1930 tenia dotze fàbriques, localitzades a Portugal, Catalunya, Algèria i la Gran Bretanya, a més de les dels Estats Units i el Canadà, gestionades per Josep Mundet, principal accionista del grup. A la seva mort (1940), el seu fill Joseph Mundet assumí la direcció de la branca americana. Els anys cinquanta l’empresa tenia uns 4.000 treballadors. Sumida en una greu crisi des dels anys setanta a causa, en part, de desavinences familiars, tancà definitivament la dècada de 1980. Josep Mundet sobresortí també per l’obra filantròpica, sobretot adreçada als obrers industrials durant la crisi de la Primera Guerra Mundial, tasca recordada amb una placa i amb el seu nom d’un tram del passeig de Mar de Sant Antoni de Calonge.