Entrà com a cantor a la capella de música del Palau de la Comtessa de Barcelona el 1748, i el mateix any fou nomenat coadjutor de Bernat Tria, mestre de capella del palau. Auspiciat per la mateixa capella, rebé un ajut per a ampliar els estudis musicals a Nàpols, on sojornà del 1749 al 1756. En el transcurs d’aquest període, Duran estudià amb Francesco Durante, mestre de capella de gran renom, que l’influí en l’art de la composició. També treballà al Conservatorio di Sant’Onofrio, on Domènec Terradelles li havia obtingut una plaça. Tot i que el 1754 morí Bernat Tria, Duran no tornà a Barcelona fins dos anys més tard, i al final del 1756 ocupà la plaça de mestre de capella del palau.
Polemitzà sobre temes de tècnica musical amb Jaume Casellas, mestre de capella de la seu de Toledo, a qui no havien plagut els italianismes introduïts per Duran en les obres religioses. De fet, la polèmica s’encetà a partir de la composició de Madrigale a quattro voci, que fou censurada per Casellas. Per a solemnitzar l’arribada de Carles III a Barcelona el 1759, Josep Pujol, mestre de capella de la catedral de Barcelona, i Josep Duran treballaren conjuntament en la composició de diverses obres. A Barcelona, al Teatre de la Santa Creu, estrenà les òperes Antigono (1760) i Il Temistocle (1762), aquesta última amb text de P. Metastasio. Duran es jubilà de les funcions del magisteri musical el 1780. Des d’aquest any, i fins al 1783, mantingué correspondència amb l’eminent erudit i historiador de la música Giovanni Battista Martini. Malauradament, són molt poques les obres de Duran que s’han conservat, algunes de les quals estan incompletes; d’altres obres només han pervingut els textos i/o llibrets, i dues són d’autoria incerta. El repertori comprèn música religiosa -en llatí i en romanç-, música teatral -dues òperes de les quals només resta el llibret- i producció simfònica -obertures.