Fill del compositor Dmitrij Šostakovič, ha estat considerat un dels més destacats intèrprets de l’obra del seu pare, del qual ha estrenat peces tan importants com la Simfonia núm. 15 i el Concert per a piano i orquestra núm. 2. De molt jove decidí dedicar-se a la direcció d’orquestra, i es formà musicalment a Moscou. Amplià coneixements amb directors tan eminents com G. Roždestvensijy i I. Markevitch. El 1963 fou nomenat director assistent de l’Orquestra Filharmònica de Moscou, i tres anys després, de l’Orquestra Simfònica Estatal de l’URSS, de la qual arribà a ser el titular —el darrer abans de la dissolució de l’orquestra—. El 1981 marxà de Rússia i es donà a conèixer a Occident, on ha dirigit sovint les orquestres més importants del món, habitualment interpretant obres del seu pare. En 1983-85 fou titular de l’Orquestra Filharmònica de Hong Kong, i del 1986 al 1991, director artístic i principal de l’Orquestra Simfònica de Nova Orleans. Posteriorment retornà a Sant Petersburg.