Estudià a Venècia amb N. Porpora i, del 1763 al 1770, al Conservatori de Sant Onofre de Nàpols. Dedicat a la composició, menà una vida errant per diverses ciutats europees, entre d’altres Viena, Mònaco i Dresden, fins que el 1791 fou nomenat mestre de capella de la catedral de Crema, on romangué fins a la seva mort. Tot i que el càrrec l’obligava a escriure música religiosa, mai no deixà de banda la música teatral, que conreava des de la seva joventut. Escriví una cinquantena d’òperes i obres dramàtiques, que constitueixen el gros de la seva producció. Hom hi percep la influència napolitana de l'opera buffa però matisada pel seu origen i la seva formació septentrionals. L’òpera que el feu famós fou Don Giovanni Tenorio o sia Il convitato di pietra, amb llibret de Giovanni Bertati, estrenada el 1787 a Venècia. La diferència de només pocs mesos entre l’estrena d’aquesta obra i el Don Giovanni de W.A. Mozart, amb text de Lorenzo Da Ponte, i la similitud entre algunes escenes de les dues obres han fet suposar que Da Ponte i Mozart es basaren en l’obra de Gazzaniga i Bertati. Altres òperes notables són La contessa di Nuovaluna (1778), amb llibret de Bertati, i Il finto cieco (1786), amb llibret de Da Ponte.