acció d’un grup en un conjunt

f

Matemàtiques

Donat un grup G i un conjunt X, acció d’assignar a cada element g de G una aplicació bijectiva σg de X en X de tal manera que σe (e és l’element neutre de G) és la identitat de X i que σg’ o σg = σg’g, qualssevol que siguin els elements g i g’ de G.

Si g és un element de G, la inversa de l’aplicació σg és σg–1. Per exemple, si (X,V) és un espai afí, l’aplicació v → tv que assigna a cada vector v de V la translació tv definida per v (és a dir, tv(x) = x + v per a tot punt x de X) és una acció del grup additiu (V,+) en X. Un altre exemple és l’acció per conjugació del grup G de matrius reals invertibles d’ordre n en el conjunt X de matrius reals d’ordre n, definida per la relació σg(x) = gxg-1. Si X és un conjunt amb estructura (per exemple un espai vectorial) i les aplicacions σg són automorfismes d’aquesta estructura (automorfismes lineals en el cas d’un espai vectorial), es parla d’una acció de G en l’estructura X.