La teoria elemental de les àrees dels polígons pren com a unitat d’àrea el quadrat que té per costat la unitat de longitud. Un rectangle de costats de longitud entera conté tants quadrats unitat com indica el producte de les seves dimensions.
Si les mesures dels costats del rectangle són fraccionàries hon divideix els costats en parts iguals, tantes com indiquen els denominadors d’aquelles mesures. Resulta sempre la mateixa regla: hom obté l’àrea d’un rectangle multiplicant les seves dues dimensions.
Si les mesures dels costats són irracionals hom pren aproximacions per defecte i per excés. L’àrea és compresa entre els productes d’aquestes aproximacions i hom l’obté com a límit d’aquests productes. Coneguda l’àrea del rectangle hom obté la del paral·lelogram sumant i restant triangles iguals; el resultat és: l’àrea del paral·lelogram és el producte de la base per l’altura.
L’àrea del triangle es dedueix observant que tot triangle pot ésser completat amb un altre triangle igual, de manera que es formi un paral·lelogram.
Aleshores, àrea del triangle = (base × altura). Finalment, hom obté l’àrea d’un polígon qualsevol descomponent-lo en triangles i sumant les seves àrees. Per a fer rigorós aquest procés cal establir la definició i les dues proposicions següents: Definició: l’àrea d’un triangle és la meitat del producte de les longituds de la base i l’altura corresponent. Proposició primera: l’àrea d’un triangle és la mateixa qualsevol que sigui el costat que es pren per base. Proposició segona: l’àrea d’un polígon és la mateixa qualsevol que sigui la descomposició en triangles utilitzada per a calcular-la.
L’àrea d’una regió limitada per corbes és calculada amb l’ajuda del càlcul integral. La fórmula fonamental és:
La determinació de l’àrea del cercle (quadratura del cercle) és un del problemes clàssics de la geometria grega, impossible de resoldre utilitzant únicament la regla i el compàs. El càlcul de l’àrea d’un cercle de radi r, A = πr2, és equivalent al càlcul del nombre π.
Per a una figura de l’espai, si la figura consta de cares planes (com són els políedres) la seva àrea és obtinguda sumant les àrees de les cares. Per a les superfícies corbes que poden ésser aplicades en un pla (cilindre, con, etc.) l’àrea és calculada per mitjà d’aquesta aplicació en un pla.
Per a les superfícies qualssevol cal recórrer al càlcul integral.
Cal notar que el càlcul de l’àrea d’una superfície corba no pot ésser fet calculant el límit de les àrees dels políedres inscrits a la superfície quan les dimensions de les cares d’aquests políedres tendeixen a zero, puix que el límit obtingut per a una mateixa superfície pot variar segons la llei amb la qual es fan tendir a zero aquelles dimensions.
