En el cas que l’exponent n del binomi sigui un nombre natural, la fórmula pot ésser demostrada per inducció, i la seva expressió és
on els coeficients (nk), anomenats coeficients binomials, són donats per la fórmula
Aquesta expressió, que ja utilitzà N.Tartaglia, fou ampliada per I.Newton en el cas d’exponents negatius i fraccionaris i per L.Euler en el cas d’exponents irracionals. En el cas, però, que l’exponent n no sigui un nombre natural, l’anterior expressió esdevé una sèrie infinita i, per tant, només té sentit quan la sèrie és convergent, cosa que imposa certes limitacions als valors de a i b.