Cal, doncs, construir un cos que contingui el cos ℝ com a subcòs i alhora un element i que compleixi i2 + 1 = 0. Per fer-ho és possible procedir de dues formes. D’una banda, és possible de considerar el pla complex. D’una altra, és possible de considerar l’anell quocient ℂ = ℝ[X]/(x2 + 1), on ℝ[X] és l’anell dels polinomis en la variable X amb coeficients reals i (X2 + 1) és l’ideal engendrat pel polinomi, irreductible a ℝ, X2 + 1. Hom disposa aleshores de l’aplicació canònica π : ℝ(X) → ℂ i la imatge d’X és anomenada i. És a dir, i = π(X). Aquest cos té una propietat molt important: és algèbricament tancat. Això significa que qualsevol polinomi P (X), de grau n ≥ 1 amb coeficient a ℂ, té almenys una arrel a ℂ. És el teorema fonamental de l’àlgebra.
m
Matemàtiques