Si K és un cos i K[x] és l’anell de polinomis sobre K, hom diu que un polinomi p(x) és reductible sobre K si admet una descomposició en la forma p(x)=f(x)g(x) on grau [f(x)] p(x)]; en cas contrari hom diu que p(x) és irreductible o primer sobre K. La reductibilitat d’un polinomi depèn del cos a què pertanyen els coeficients; així, el polinomi (x2+1) és reductible sobre ℂ, ja que (x 2+1)=(x+i)(x-i), però és irreductible sobre ℝ, perquè no hi admet cap descomposició en factors de grau menor. Tot polinomi de l’anell K[x] pot descompondre’s unívocament en un producte de polinomis irreductibles de K[x]. En el cas de ℝ[x], els polinomis irreductibles són els polinomis de grau 1 i els de grau 2 que tenen discriminant estrictament negatiu. En el cas de ℂ[x], tot polinomi de grau n admet una descomposició en producte de n monomis, propietat que palesa que ℂ és un cos algèbricament tancat, de manera que els polinomis irreductibles de ℂ[x] són els de grau 1. La descomposició de polinomis és un cas particular de descomposició en factors irreductibles en un anell factorial.
f
Matemàtiques