Si la igualtat no conté cap element variable, hom només pot dir que és certa o falsa; si conté variables, la igualtat pot esdevenir certa per a uns valors i falsa per a uns altres; en particular, pot ésser certa per a qualsevol valor de les variables (anomenada aleshores identitat), o bé falsa per a qualsevol valor de les variables (equació incompatible). Els valors que satisfan una equació són les seves solucions o arrels. En termes més generals, si en una correspondència entre dos conjunts (numèrics o no) hom fixa una imatge, la condició que determina quins elements originals tenen aquesta imatge és una equació. Per exemple, si és la correspondència "x és divisor de y", l’equació f(x) = 10 té les solucions positives 1, 2, 5, 10. Si A és el conjunt dels països, B, el conjunt dels idiomes, i f, la correspondència “tal idioma es parla a tal país”, l’equació f(x) = català té les solucions Principat de Catalunya, País Valencià, Balears, etc. Una equació algèbrica racional és la que, per transformacions algèbriques, pot ésser expressada com un polinomi que té valor numèric nul. La forma general de l’equació de grau n és a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn = 0. El grau del polinomi és el grau de l’equació, i a0 , a1 ... an en són els coeficients. Hi ha diversos lligams entre el conjunt a què pertanyen els coeficients i el conjunt en què hom pot trobar solucions. Cal destacar la proposició “una equació de primer grau amb coeficients d’un cos, essent a ≠0, té sempre una sola solució en aquest cos”, i també la proposició, coneguda històricament amb el nom de teorema fonamental de l’àlgebra (àlgebra 6), que diu que “una equació de qualsevol grau amb coeficients que siguin nombres reals o complexos té, almenys, una solució complexa o, en particular, real”. Les equacions de grau 1, 2, 3 i 4 es resolen amb fórmules que donen les solucions en funció dels coeficients (àlgebra, cos1), i per a les equacions de grau superior a 4 no hi ha cap fórmula que doni, per mitjà d’una expressió algèbrica dels coeficients, les solucions de l’equació. Una equació algèbrica P(x) = 0 de grau n té, com a màxim, n arrels reals. Si x1 és una d’aquestes arrels, el polinomi P(x) pot ésser descompost en factors, un dels quals és x — x1 . Si el polinomi té el factor (àlgebra, cos1) x1 és anomenada arrel múltiple d’ordre r (per a r = 2 l’arrel és anomenada doble, etc) i r és la multiplicitat de l’arrel x1 . L’equació algèbrica és anomenada irracional si conté radicals en què figuren les variables. Per a la resolució numèrica d’equacions són emprades sovint, en les aplicacions de la matemàtica, solucions obtingudes per aproximacions successives, que permeten d’aconseguir valors aproximats amb error més petit que qualsevol de prefixat. Aquests mètodes (regula falsi, mètode de Newton, substitucions decimals) eren d’aplicació lenta, però s’han revalorat amb els progressos dels ordinadors.
f
Matemàtiques