Fill de Cosme Marià Argerich del Castillo, estudià al Colegio de San Carlos de Buenos Aires, on fou condeixeble de Bernardino Rivadavia. El 1801 inicià la seva carrera de medicina com a alumne del primer curs sota el patrocini del Protomedicat, on tingué, entre altres mestres, el seu pare. Metge militar des del 1806, fou també professor d’anatomia i director de l’Institut Militar de Medicina (1815-21). Nomenat cirurgià major de l’exèrcit (1822), ocupà el càrrec de secretari interior de l’Acadèmia de Medicina (1823). Treballà com a cirurgià, en diversos períodes, a l’Hospital de Dones de Buenos Aires. El 1832, com a diputat de la Ciutat de Buenos Aires a la legislatura provincial, s’oposà a la concessió de facultats extraordinàries al governador Juan Manuel de Rosas, el qual, quan retornà al poder el 1835, destituí Argerich de tots els seus càrrecs mèdics. El 1842 s’exilià a Montevideo (Uruguai). És considerat fundador de l’Escola Mèdica argentina.