Membre del grup de dansa d’Anna Maleras (1969-72), el 1980 s’associà amb Lydia Azzopardi, amb qui presentà diversos espectacles (Danzas para interiores, 1981; Alhambra, 1983, i Five to Two, 1983) i el 1986 fundà la companyia de dansa Gelabert Azzopardi, que s’ha consolidat com una de les iniciatives més sòlides i de més projecció en el seu gènere.
Coreografia i participa com a solista en la majoria de les obres estrenades per la companyia, que també produeix els solos concebuts i interpretats per ell mateix, entre els quals destaquen Im Goldenen Schnitt I i II (1989), a partir de l’obra del coreògraf Gerhard Böhner; Cesc Gelabert V.O.+ (2012, premi Butaca al millor espectacle de dansa), en el qual comenta les seves actuacions; Tríptic (2016), compost de Suite Santos, Domènech i Cesc Gelabert interpreta Vicente Escudero; Escrit en l’aire (2016), amb la col·laboració de l’escriptor, pintor i director d’escena Valérie Novarina; Soleá (2016), versió lliure de la interpretació d’aquesta peça del bailaor de flamenc el Güito; Al lloc, inespecífic (2017), actuació pensada per al subsol de la Pedrera, i Framing Time (2018), a partir de la peça per a piano Triadic Movement del compositor Morton Feldman.
A títol individual, ha estat guardonat amb la Medalla d’Or del mèrit en les belles arts (1994) i el Premio Nacional de dansa (1996) del govern espanyol, amb dos premis Max com a millor intèrpret de dansa (2004 i 2006) i amb la Medalla d’Or de la Ciutat de Barcelona (2019).