grup

m

Matemàtiques

Estructura algèbrica constituïda per un conjunt G on hi ha definida una operació, designada per *, que per a qualssevol elements a, b, c de G té aquestes tres propietats: propietat associativa, o sia (a*b) *C = a*(b*c); G conté un element neutre e, o sia a*e = a; i per a qualsevol element a n’hi ha un altre de G, representat per a’, que és el seu invers (a*a’ = a’*a = e).

Si a més es compleix la propietat commutativa (a*b = b*a), el grup és anomenat commutatiu o abelià i, en aquest cas, si hom representa l’operació amb el signe +, el grup és anomenat també additiu, mentre que si hom utilitza el signe · o uns altres, el grup és anomenat també multiplicatiu. Hom anomena ordre d’un grup el nombre d’elements que conté (més exactament, és el cardinal del conjunt dels seus elements). El grup és anomenat cíclic si qualsevol element s’obté per producte repetit d’un de fix, anomenat generador. L’estudi en abstracte dels grups permet d’obtenir resultats aplicables a grups concrets. Així, per exemple, un grup (G, ·) és un conjunt on l’equació a . x = b té solució; en un grup hom pot fer simplificacions, és a dir, si a · x = b · x, aleshores a = b; l’ordre d’un subgrup divideix l’ordre del grup (teorema de Lagrange); un grup finit (de n elements) és isomorf amb un subgrup del grup de les permutacions de n elements, anomenat grup simètric de n elements (teorema de Cayley). La noció de grup sorgeix naturalment en matemàtiques en estudiar els automorfismes. Així, per exemple, els automorfismes del pla geomètric euclidià constitueixen el grup dels moviments del pla; considerant un conjunt finit de n elements com a estructura, els automorfismes constitueixen el grup de permutacions de n elements. Durant molts anys els matemàtics usaren conceptes de la teoria de grups abans que el concepte abstracte fos publicat per A.Cayley l’any 1854, sense gaire ressò, i per C.Jordan el 1870, el qual començà a adonar-se de la riquesa de la teoria. Com a iniciador cal destacar E.Galois, que aplicà a l’estudi de resolució d’equacions polinòmiques els grups de permutacions de les arrels. Més tard, M.S.Lie i Felix Klein aplicaren els grups a l’estudi de la geometria. A més de constituir una de les bases de l’àlgebra moderna (teoria de grups), els grups apareixen en totes les branques de la matemàtica (grups de transformacions en geometria, grups topològics dins el camp de l’anàlisi, etc), i fins i tot d’altres ciències, especialment en la física. Cal destacar la influència que l’estudi de la gènesi del concepte de grups, fet per J. Piaget, ha tingut en l’evolució de l’ensenyament.