Feu els seus estudis eclesiàstics al seminari de Girona i a Madrid. Ordenat el 1966, després de dos anys de ministeri a Malgrat (Maresme), anà a Xile, on feu el seu treball pastoral a San Bernardo, prop de Santiago, i a San Antonio, a la costa. Treballà també a l’hospital de la ciutat de San Antonio i al de Sant Joan de Déu de Santiago de Xile. Compromès amb els més pobres, tingué molta activitat en el moviment obrer cristià. Fou delegat sindical i consiliari del moviment obrer d’Acció Catòlica. Visqué el triomf i la caiguda del president xilè Salvador Allende, amb el programa del qual se sentia identificat.
Pocs dies després del cop d’estat, el 19 de setembre de 1973, fou detingut per una patrulla militar i executat. El soldat que l’executà, Nelson Bañados, reconegué anys després l’autoria material del fet i el 1999 se suïcidà. L’any 2005, la sentència de la querella interposada per Maria Alsina, germana del sacerdot, estimà que la mort d’Alsina fou un crim de lesa humanitat, i condemnà el màxim cap de la patrulla militar a cinc anys de presó.
Se n’ha publicat una biografia, que aplega també alguns escrits seus: Joan Alsina: Xile al cor (1976), d’I. Pujadas, premi de biografia Aedos.