Es formà a la Rambert Ballet School de Londres i amb el mim Marcel Marceau a París. El 1962 fundà la seva companyia, que es feu un nom amb espectacles anticonvencionals, fusió de mim, dansa, teatre i òpera, que incloïen tant produccions pròpies (Turquoise Pantomime, Mr Punch’s Pantomime) com versions de clàssics del teatre com ara Woyzeck, de Georg Büchner o Salome, d’Oscar Wilde. La producció més representativa de la seva filosofia de les arts escèniques (i la més famosa) és, però, Flowers (1974), basada en la novel·la Nôtre Dame des Fleurs, de Jean Genet, una de les seves referències principals, conjuntament amb Federico García Lorca, Jean Cocteau i el teatre kabuki. Relacionat amb la contracultura i el món del rock, fou mentor de David Bowie, que actuà en algunes de les seves produccions. Per la seva banda, Kemp feu la coreografia dels Stardust Concerts (1972), que contribuïren a projectar Bowie com a estrella de l’anomenat glam-rock, caracteritzat pel colorisme, la teatralitat i l’ambigüitat sexual.
A la segona meitat dels anys setanta s’instal·là uns anys a Barcelona, on els seus espectacles gaudiren d’un ressò considerable per la combinació de brillantor i desinhibició eròtica, en contrast amb els estrictes cànons morals imposats pel franquisme. Posteriorment fixà la residència a Itàlia, on la seva versió de Midsummer’s Night Dream (1979), de W. Shakespeare, obtingué un gran èxit. Altres espectacles són The Big Parade (1985), Cinderella (1995), Dreamdances (2002) i una particular versió dels Contes d’E.T.A. Hoffmann (2007). Actuà també en alguns films, entre d’altres The Vampire Lovers (1970), de Roy W. Baker; Savage Messiah (1972), de Ken Russell; Jubilee (1977), de Derek Jarman, i The Velvet Goldmine (1998), de Todd Haynes.